Stellungnahme zu dieser Matheaufgabe?
Hallo. Ich war für etwas längere Zeit abwesend, deshalb bin ich gerade dabei thematische Lücken zu stopfen. Die Aufgabe lautet folgendermaßen:
Ein Wissenschaftler behauptet "Wenn wir davon ausgehen, dass jährlich 40t Düngemittel in einen See gespült und dass stets 50% der im Wasser gelösten Düngemittel abgebaut werden, dann steigt die Düngemittelkonzentration nur bis zu einer gewissen Grenze."
Nimm dazu Stellung. Untersuche dazu die Auswirkungen, die es hat, wenn zu Beginn schon unterschiedliche Mengen an Düngemittel in dem See sind. Was passiert, wenn weniger als 50% abgebaut werden?
Meine Frage, wie gehe ich hier vor? Muss ich eine Formel aufstellen oder wie? Ich bin dankbar für jede Antwort. Mfg
3 Antworten
Es gilt ja offensichtlich die Rekursionsfornel
a(n+1) = 1/2 • (a(n) + 40) = 1/2 • a(n) + 20.
Im Fall der Konvergenz konvergieren a(n) und a(n+1) natürlich gegen denselben Grenzwert alpha , also gilt
alpha = 1/2 • alpha + 20, also
alpha = 40.
Für a(1) < 40 ist die Folge monoton steigend mit 40 als Grenzwert und für a(1) > 40 ist sie monoton fallend mit 40 als Grenzwert . Die Monotonie und Beschränktheit musst du noch eigentlich seperat beweisen ( bekommst du das hin?), der dann vorhandene Grenzwert 40 wurde ja schon oben ausgerechnet.
Formel? Nö. Du sollst Stellung dazu nehmen. Also Richtig, weil bzw. Falsch, weil. Um deine Argumente zu untermauern, kannst du eine Formel aufstellen, müssen tust du das aber nicht.
Zur Aufgabe: "steigt die Düngemittelkonzentration nur bis zu einer gewissen Grenze."
Was heißt das? Die Konzentration steigt und dann nicht mehr. Es wird aber weiterhin Düngemittel in den See gespült... Was heißt das? Und wann (bei welcher Menge Düngemittel im Wasser) passiert das?
Die Unterschiedlichen Mengen sind ein anderer Startwert. Dadurch wird die Grenze schneller/langsamer erreicht. Der Abbauprozentsatz bestimmt, wo die Grenze liegt. Wie das Zusammenhängt, findest du selber raus ;-)
er kann so aber nur sagen : es kann das passieren , es kann jenes passieren. Bei den angegebenen Daten sollte man aber ein konkretes Szenarion aufstellen können,
1) Ko=0 keine konzentration am Anfang
2) K1=40 t
3) K2=40t+(40t*0,5)
4) k3=40+(40+40*0,5)*0,5
5)=K4=40+(40+40*0,5+40*0,5^2)*0,5
nun kann man die 40 t ausklammern
Kn=40*(1+0,5+0,5^2+0,5^3+...0,5^n)
wir sehen hier in der Klammer eine "geometrische Reihe) mit q=an+1/an=0,5/1=0,5
Summenformel Sn=a1*(1-q^n)/(1-q) mit a1=1 und 0< Betrag(q)<1 q ungleich 1
Sn=(1-0,5^n)/0,5
mit n gegen unendlich ergibt (1-0)/0,5=1/0,5=2
also Kn=40 t*2=80t
Der Wissenschafter hat als Recht
bei einer Anfangskonzentration ergibt sich der selbe Rechenweg
Ko=20
K1=40+20*0,5
K2=40+(40+20*0,5)*0,5
k3=40+(40+40*0,5+20*0,5^2)*0,5
K3=40+40*0,5+40*0,5^2+20*0,5^3
40 ausgeklammert
K3=40*(20*0,5^3+1+0,5+0,5^2)
dies ist auch wieder eine "geometrische Reihe" mit q=0,5
mit n gegen unendlich ist 20*0,5^n=20*0 und der rest auch wieder Sn=2
also ändert sich nichts.
mit q=0,3 würde sich ergeben
a1*(1-0,3^n)/(1-0,3)=a1*1/0,7=a1*1,428..
Prüfe auf Richtigkeit und mach Proberechnungen