Spin Kopplungsoperator, Addition zweier Spins?

Hallo, ich lese aktuell ein Fachbuch über Quantenmechanik und befinde mich im Kapitel Drehimpulse und Spins. Genauer geht es aktuell um Spinaddition. Da ich mir am Ende des Kapitels nicht sicher war, ob ich alles verstanden habe, habe ich einen Blick auf die Übungsaufgaben geworfe. Dort findet sich die auf dem Bild zu sehende Übungsaufgabe, die ich gerne lösen würde, aber ich bin mir noch nicht ganz sicher wie.
Thematisch geht es um die Addition der Spins von zwei Teilchen. Weil der Spin s=1/2 ist, gibt es für jede komponente des Spinoperators genau zwei Eigenwerte (+h/2 und -h/2). Auch ist mir bewusst, dass die spinoperatoren unterschiedlicher komponenten von verschiedenen Teilchen vertauschen (also [s_x^1,s_y^2]=0). Weiter kann ich die die Komponenten des Spinoperators (also s_x;s_u;s_z) also 2x2 Matrix schreiben. Wie kann ich aber nun diese Matrix auf ein Teilchen "münzen". Ich gehe davon aus, dass ein Teilchen spin up hat und das andere spin down. Muss ich nun die Erzeugungs/Vernichtungsoperatoren für den Spin (auch Leiteroperatoren genannt (s_+ und s_-); die auch auch als 2x2 Matrix darstellen kann) auf die komponenten der Spinoperatoren anwenden, also damit ich einem Teilchen spin up und dem anderen spin down verpassen kann?
Also wäre so etwas für den ersten Additionstherm korrekt?:
s_+*s_x*s_-*s_x (natürlich alles in Matrixform)

Answer 1

[ChePhyMa]

Ich verstehe nicht was du mit den Leiteroperatoren und den Eigenzuständen tun möchtest, hier wirkt ja der Hamilton-Operator noch überhaupt gar nicht auf irgendwelche Teilchen.

Was in dieser Übungsaufgabe gewollt ist, ist schwer zu sagen, ohne mehr von der Aufgabe und den Erklärungen oben drüber zu sehen.

Wichtig ist, dass man hier nicht einfach die 2x2 Matrizen der verschiedenen Teilchen miteinander Matrix-multiplizieren darf. Diese Produkte sind eigentlich Tensorprodukte.

$s_x^1\ s_x^2\$

ist als Ergebnis eine 4x4 Matrix, weil es sich um ein Tensorprodukt handelt. Anders ausgedrückt, wirkt der eine Spinoperator nur auf den Teil des Hilbert-Raums der zu dem einen Teilchen gehört und der andere Spinoperator auf den anderen.

Ich hoffe, dass du vielleicht in diesem Link noch einen besseren Eindruck davon bekommst:

https://physics.stackexchange.com/questions/60409/how-to-tackle-dot-product-for-spin-matrices?rq=1

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung

Answer 2

[Reggid]

es gibt natürlich noch eine günstigere basis als die welche ich in meiner ersten antwort gewählt habe. man kann nämlich die Standard triplet und singlet zustände als Basis des zweiteilchenraums wählen

$\left|1,1\right\rangle=\left|\uparrow\uparrow\right\rangle\$ $\left|1,-1\right\rangle=\left|\downarrow\downarrow\right\rangle\$ $\left|1,0\right\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\left|\uparrow\downarrow\right\rangle+\left|\downarrow\uparrow\ \right\rangle\right)\$ $\left|0,0\right\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\left|\uparrow\downarrow\right\rangle-\left|\downarrow\uparrow\right\rangle\right)$

der Operator ist in dieser Basis nämlich diagonal

$H=\frac{1}{4}\left[\left|1,1\right\rangle\left\langle1,1\right|+\left|1,-1\right\rangle\left\langle1,-1\right|+\left(2-c\right)\left|1,0\right\rangle\left\langle1,0\right|-\left(2+c\right)\left|0,0\right\rangle\left\langle0,0\right|\right]$

(warum kann man in antworten Formeln schreiben, in Kommentaren aber nicht??)

Answer 3

[Reggid]

Muss ich nun die Erzeugungs/Vernichtungsoperatoren für den Spin (auch Leiteroperatoren genannt (s_+ und s_-); die auch auch als 2x2 Matrix darstellen kann) auf die komponenten der Spinoperatoren anwenden

Operatoren wendest du auf zustände an. der satz von dir macht keinen sinn ("Operatoren auf Komponenten von Operatoren anwenden")

auch weiß ich nicht was du meinst mit "einem Teilchen spin up verpassen".

das hat doch nichts mit der aufgabe zu tun.

du kannst den Hamiltonian durch die leiteroperatoren S+,S- und durch Sz ausdrücken

$H=\frac{1}{2}S_{+\ }^1S_-^2+\frac{1}{2}S_{-\ }^1S_+^2+cS_z^1S_z^2$ und dann sehen wie der Operator auf die basiszustände wirkt um die matrixdarstellung in dieser Basis zu finden. am naheliegensten wäre in diesem fall natürlich die basis

$\left\{\left|\uparrow\uparrow\right\rangle,\left|\uparrow\downarrow\right\rangle,\left|\downarrow\uparrow\right\rangle,\left|\downarrow\downarrow\rangle\right|\right\}$

(natürlich immer bezogen auf die z-achse).

jetzt kannst du den Hamiltonian darauf anwenden, und mit der bekannten Wirkung von S+,S- und Sz auf die einteilchenzustände erhält man

$H\left|\uparrow\uparrow\right\rangle=\frac{c}{4}\left|\uparrow\uparrow\rangle\right|$ $H\left|\uparrow\downarrow\right\rangle=\frac{1}{2}\left|\downarrow\uparrow\right\rangle-\frac{c}{4}\left|\uparrow\downarrow\rangle\right|$ $H\left|\downarrow\uparrow\right\rangle=\frac{1}{2}\left|\uparrow\downarrow\right\rangle-\frac{c}{4}\left|\downarrow\uparrow\rangle\right|$ $H\left|\downarrow\downarrow\right\rangle=\frac{c}{4}\left|\downarrow\downarrow\rangle\right|$

die matrixdarstellung bezüglich dieser Basis ergibt sich also zu

$H=\frac{c}{4}\left|\uparrow\uparrow\right\rangle\left\langle\uparrow\uparrow\right|+\frac{c}{4}\left|\downarrow\downarrow\right\rangle\left\langle\downarrow\downarrow\right|-\frac{c}{4}\left|\uparrow\downarrow\right\rangle\left\langle\uparrow\downarrow\right|-\frac{c}{4}\left|\downarrow\uparrow\right\rangle\left\langle\downarrow\uparrow\right|+\frac{1}{2}\left|\uparrow\downarrow\right\rangle\left\langle\downarrow\uparrow\right|+\frac{1}{2}\left|\downarrow\uparrow\right\rangle\left\langle\uparrow\downarrow\right\rangle$

natürlich hätte man auch z.B. die matrixdarstellung von Sx,Sy,Sz oder von S+,S-,Sz als bekannt vorraussetzen können und dann einfach ausmultiplizieren.