Sinussatz (Anzahl der Dreiecke bestimmen)?
die folgende Aufgabe lautet : Untersuche rechnerisch,ob es zwei Dreicke,ein Dreieck ode kein Dreieck mit den gegebenen Seitenlängen und Winkelgrößen gibt.
a) a=4,5 cm, c=5,5 cm , α=40°
Könnte mir bitte jemand erklären wie ich die Anzahl der Dreiecke rechnerisch bestimmen kann und hat das was mit den Kongruenzsätzen zu tun hat? Danke im Voraus :)
2 Antworten
Zunächst mal setzt du die Daten in den Sinussatz ein. Also 4,5/sin(40°) = 5,5/sin(gamma) oder auch sin(gamma) = 5,5*sin(40°)/4,5.
Das ergibt für sin(gamma) ungefähr 0,786 und damit für gamma ungefähr 51,79° oder (zweiter möglicher Wert) auch 128,22°. Nun mußt du noch schauen, ob du ein Dreieck mit den Winkeln 40°, 128,22° und 11,77° und den angegebenen Seitenlängen tatsächlich konstruieren kannst. Dazu bildest du 4,5/sin(40°) = b/sin(11,77°) oder b= 4,5*sin(11,77°)/sin(40°) = 1,43. Das selbe machst du mit dem zweiten Winkel 51,79°.
Das Dreieck wäre nicht konstruierbar, wenn du
- für eine Länge einen negativen Wert erhälst
- Für einen Sinus Wert einen Zielwert > 1 erhälst
- Du eine Winkelsumme > 180 erhälst.
Alle drei Fälle sind hier nicht gegeben, d.h. es sind zwei Dreiecke mit den gegebenen Werten konstruierbar. Wenn du deine Ergebnisse nachprüfen willst, kannst du das hier
https://www.matheretter.de/rechner/dreieck
probieren.
Nebenbei sind die Lösungen NICHT konkruent.
Nebenbei ein Beispiel für Nichtlösbarkeit: Ein Dreieck mit a = 4,5 c = 8 alpha = 40° ist nicht konstruierbar. Es gilt nämlich dann in obiger Rechnung für gamma:
sin(gamma) = 8*sin(40°/4,5 = 1,14...
was für kein gamma lösbar ist. Eindeutigkeit erhälst du wenn als Vorgabe für gamma sin(gamma) = 1 gelten soll, das ist im für Dreiecke erlaubten Bereich von 0 - 180° nämlich nur für 90° und nicht wie in deiner Aufgabe für zwei verschiedene Winkel lösbar.
Es gilt: Was man zeichnen kann, kann man auch rechnen.
Heisst für Dich: Beginne mit Zeichnen. Zeichne mit den Angaben, was Du zeichnen kannst. Benutzt Du dazu ein Grafikprogramm, dann kannst Du sehr schnell jeden Zeichenschritt kopieren, bevor Du den nächsten tust.
Anschließend überlegst Du Dir, wie Du jede (neue) Zeichnung / Ecke / Linie davon gerechnet hättest.
Den Ansatz halte ich für kontraproduktiv, da zeichnen zu ungenau ist und die Anschauung von der Rechnung weg führt. Zusätzlich bin ich mir nicht sicher ob dem Fragesteller klar ist wie Dreiecke mit den gegebenen Größen konstruierbar sind und ob er bei der Konstruktion auch die zweite mögliche Lösung erwischen würde.