Sinusfunktion Federpendel?
Hey Leute, ich lerne grade für eine Mathearbeit, aber bekomme diese Aufgabe nicht hin. Wäre nett würde die mir jemand erklären :). LG
1 Antwort
Diffeentialgleichung (Dgl) der freien ungedämpften Schwingung (ist eine harmoische Schwingung)
y´´+a*y=0 ist y´´+wo²*y=0
in der Physik benutzt man den Buchstaben s für den Weg,ergibt
S´´+wo²*S=0
S(t)=... ist die Weg-Zeit-Funktion abgeleitet
ds/dt)=S´(t)=V(t)=... ist die Geschwindigkeits-Zeit-Funktion abgeleitet
dv/dt=V´(t)=S´´(t)=a(t)=.. ist die Beschleunigungs-Zeit-Funktion
allgemeine Lösung der Dgl.
S(t)=C1*sin(w*t)+C2*cos(w*t) der Buchstabe t wird in der Physik als die Zeit eingesetzt.
Pendel1 T1=4s und t=0 ist S(0)=Smax=C1*sin(0)+C2*cos(w*0)=C1*0+C2*1
also C1=0
partikuläre (spezielle) Lösung Pendel1 S1(t)=a*cos(w*t)
Pendel2 T2=6s und t=0 ist S(0)=Smin=C1*sin(w*0)+C2*cos(w*0)=C1*0+C2*1
also C1=0
S(t)=a*cos(w*t)
siehe Mathe-Formelbuch,trigonometrische Funktionen
y=f(x)=cos(x)
Extrema bei x=k*pi mit k=0,1,2,3....
1.te Extrema x=0*pi=0 f(0)=cos(0)=1>0 also ein Maximum
2.te Extrema x=1*pi f(pi)=cos(pi)=-1<0 also ein Minimum
bei uns
S(t)=a*cos(w*t+b) ergibt w*0+b=pi also
S(t)=a*cos(w*t+b) Probe: S(0)=a*cos(0+pi)=a*(-1)
Hinweis: b>0 verschiebt den Graphen auf der x-Achse nach links.Bei uns wird der Graph S(t)=a*cos(w*x) so weit nach "links" verschoben,bis das Minimum (-1) bei
t=0 liegt (auf der y-Achse)
- Möglichkeit:Man kann mit f(x)=-1*f(x) den Graph an der x-Achse spiegeln
S(t)=-1*a*cos(w*t) mit t=0 S(0)=-1*a*cos(w*0)=-1*a also Minimum
Zusammenfassung:
Pendel1 h(t)=S1(t)=a1*cos(w1*t)
Pendel2 k(t)=S2(t)=a2*cos(w2*t+b) oder S2(t)=-1*a2*cos(w2*t)
wo=w=2*pi/T hier 2*pi=Vollkreis in rad (Hin-und Herschwingung,die 2 Halbwellen,positive und negative Halbwelle)
T=Zeit für eine Periode (Hin-und Herschwingung)
w1=2*pi/4s=pi/2 rad/s "Kreisfrequenz" Winkelgeschwindigkeit
w2=2*pi/ 6 s=pi/3 rad/s
gleichgesetzt S1(t)=s2(t)
a1*cos(pi/2*t)=-1*a2*cos(pi/3*t)
0=a1/a2*cos(pi/2*t)+cos(pi/3*t)
siehe Mathe-Formelbuch,trigonometrische Funktionen,Summen und Differenzen von trigonometrischen Termen
cos(a)+cos(b)=2*cos((a+b)/2)*cos((a-b)/2)
(a)=(pi/2*t) und (b)=(pi/3*t)
den Rest schaffst du wohl selber.
Hinweis: es gilt f(x)=sin(x+pi/2)=cos(x)
f(x)=sin(x) und f(x)=cos(x) haben den selben Kurvenverlauf,sind aber um pi/2=90°
gegeneinander auf der x-Achse verschoben.