Schwerpunkt eines halben Hohlzylinders berechnen?
Gegeben ist ein halber Hohlzylinder mit r1 und r2. Seine Wandstärke ist nicht sehr dünn. Wie kann man den Schwerpunkt dieses Zylinders berechnen?
Am liebsten wären mir mathematische/physikalische Quellen, weil ich das dringend für meine Seminararbeit brauche.
Danke :)
4 Antworten
Ganz langsam:
Flächenelement in Polarkoordinaten:
y-Koordinate von dA:
Wir integrieren von r1 bis r2 und von -π bis π:
Zähler:
Nenner: A = Fläche
Schwerpunkt Y Koordinate: Z/N
mathematische/physikalische Quellen
Nun - die "Quellen" hast du wahrscheinlich parat in einem deiner Formelbücher.
Da ist bestimmt die Schwerpunktlage des Halbkreises zu finden.
Diese beträgt
so= 4*r/(3*pi) ..hier von oben.
Dann den gemeinsamen Schwerpunkt zweier Flächen (mit bekannter Schwerpunktlage) errechnen - ist für dich ein Klax.
Die innere Kreisfläche ist natürlich hier negativ.
Der Schwerpunkt definiert sich über
Dabei ist A(r) ein Flächenelement am Ort r.
In diesem Fall benötigen wir nur die y-Koordinate und das Integral wird einfach.
siehe separate Antwort - als ausführlicher Dreizeiler ;-)
Und dies soll also ein für praktische Berechnungen gangbarer Weg sein, mit Doppelintegral usw.
Da sind mir ordinäre einfache Berechnungen lieber - dem FS wohl auch.
Ömmm - was ist an einem Doppelintegral so absonderlich? Ein Flächenintegral in Polarkoordinaten ist Schulstoff und nicht mal Uni-Niveau. Jetzt musst Du aber selbst über Deine Antwort lachen - oder? Was ist daran nicht "ordinär" ? Die Rechnung dauert 2 min... Natürlich ist Dein Weg auch gangbar - die "Formel" für den Schwerpunkt eines Halbkreises fällt aber auch nicht vom Himmel.
die "Formel" für den Schwerpunkt eines Halbkreises fällt aber auch nicht vom Himmel.
Hier schon. Man muß bei praktischen Berechnungen nicht das "Rad immer neu erfinden" und alle Formeln immer wieder neu "ableiten.
Siehst du doch ein - oder ?
In diesem Sinne sind solche Lösungen ,wie du sie gebracht hast für die FS nie hilfreich.
Außerdem gilt diese ja nur für einen Spezialfall. Wenn weitere Flächen einzubeziehen sind, dann macht nur der von mir gebrachte "Weg" Sinn.
Der geht immer.
Wir diskutieren jetzt um des Kaisers Bart...
Ich vermeide seit jeher Formelwerke wenn die Lösung trivial ist, wie hier. Warum: Weil ich seit drei Jahrzehnten Mathematik unterrichte und ich beobachte, dass die Schüler mittlerweile erwarten, alles, wirklich alles, in einem Formelbuch zu finden. Dabei geht das Gefühl für selbständiges Denken verloren. Noch viel schlimmer wird das bei modernen elektronischen Rechenhilfen, die Schüler schon im allereinfachsten Fall (z.B. bei Grundintegralen über x oder x² verwenden. In der Praxis ist das natürlich OK, aber lernen kann man daraus nichts.
Aber das ist alles Geschmackssache. Natürlich ist Deine Lösung nicht schlechter als meine, aber ich finde es "unschön", den Schwerpunkt eines so einfachen Gebildes wie einen Halbkreises einfach billig nachzuschlagen statt selbst zu rechnen. Diese Einstellung ist wahrscheinlich meinem Physikstudium geschuldet, wo nur zählte, was man sich auch selbst aus den Grundlagen erarbeiten konnte. Nenne mich pedantisch, aber ich bin mit dieser Einstellung immer gut gefahren.
Am einfachsten geht das wohl über die zweite Guldinsche Regel:
https://de.wikipedia.org/wiki/Rotationsk%C3%B6rper#Zweite_Regel
Sprich: du berechnest zunächst das Volumen einer Hohlkugel, die durch Rotation der Querschnittsfläche entsteht, und dividierst dieses dann durch die Querschnittsfläche. Damit kennst du den Abstand des Massenlittelpunkts von M.
Tipp: Verwende Polarkoordinaten, dann wird das ein Einzeiler ;-)