Schnittpunkt zwischen einer e-Funktion und einer normalen Funktion berechnen?
Ich habe die beiden Funktionen:
- e^-x * (x-1)²
und
- (x-1)²
Leider weiß ich überhaupt nicht wie ich da gleichsetzen soll, da das e^x stört. Ich weiß, dass der Schnittpunkt bei S(1/0) liegt, da ich beide Parabeln gezeichnet habe, nur muss ich den Schnittpunkt auch irgendwie berechnen. Danke.
4 Antworten
Du hast f(x)=e^-x * (x-1)² und
g(x)=(x-1)²
Recht offensichtlich ist dass die beide gleich 0 sind wenn x=1 ist.
Einfach weil beide ein Produkt aus 2 Faktoren sind und eben den Faktor
(x-1)²
teilen.
Ansonsten versuchst du es mit dem üblichen Gleichsetzen:
e^-x * (x-1)²=(x-1)²
Da wir nun die x ungleich 1 suchen wollen,
können wir durch den gemeinsamen Faktor teilen.
e^(-x)=1
ln(...) auf beiden Seiten machen:
ln(e^(-x))=ln(1)
-x=0
-> x=0
Somit gibt es insgesamt 2 Schnittpunkte, einen bei (1,0)
und einen bei (0,1).
PS: Du hättest aus dem allgemeinen
e^-x * (x-1)²=(x-1)²
auch umstellen können zu
(x-1)^2*(e^(-x)-1)=0
also praktisch alles auf eine Seite bringen und den gemeinsamen Faktor herausziehen.
gibt dir wieder ein Produkt mit 2 Faktoren, wovon mind. einer gleich 0 sein muss.
Ergibt dir auch die 2 Bedingungen für die Schnittpunkte.
Du merkst: Vorsicht beim Lösen durch "angucken". Du hast zwar den einen Schnittpunkt (1|0) gesehen, doch den anderen (0|1) hast Du übersehen.
Okay, es mag schön sein, von der Lösung schon mal eine erste Anschauung zu bekommen. Doch erspart das eben die Rechnung nicht - und die scheint manchmal eben schwieriger zu sein. Es gibt sogar Fälle, wo es erheblich einfacher ist, zu beweisen, dass es eine Lösung gibt, als die Lösung konkret anzugeben.
Ansonsten findest Du die richtige Lösung incl. Weg wie so häufig bei psychironiker.
(1) e^(-x) * (x-1)² ist keine Parabel.
(2) Schnittpunkte berechne ich grundsätzlich als Nullstellen einer Differenzenfunktion, denn
f(x) = g(x) ⇔ f(x) - g(x) = 0;
da eine Differenzenfunktion d(x) = f(x) - g(x) selbst eine Funktion ist, hat das in vielen Anwendungen Vorteile.
e^(-x) * (x-1)² - 1 * (x-1)² = 0; ausklammern:
(e^(-x) - 1)(x -1)² = 0; Satz vom Nullprodukt: ⇒
- x1,2 = 1 ( wegen (x-1)² )
- x3 = 0 ( wegen (e^(-x) -1) )
Ich hab die ganze Zeit überlegt wie man da ausklammern soll, danke so macht das Sinn!
(x-1)^2 kannst du mit der binomischen Formel ausrechnen. Dann das bei beiden tun und dann miteinander addieren. Wenn du das gemacht hast, sag bescheid.
ja aber du musst beides sowieso gleichsetzten. Dann kann man e^x erstmal ignorieren.
x^2-2x+1 ist ja das gleiche wie x^2-2x+1. Da das gleichgesetzt wird dann wird das miteinander subtrahiert ( mein Fehler, nicht addiert)
e^x*(x²-2x+1) = x²-2x+1 l - x²-2x+1 (auf eine Seite bringen)
und DANN steht e^x alleine da.
Mir fällt auch gerade auf, das du das nicht mal mit der binomischen Formel rechnen müsstest , hätte auch so stehen bleiben können.
Selbst wenn da nur e^x = 0 steht, kann man nicht weiter rechnen, weil es kein ln(0) gibt.
Ja das ist denke ich klar, weil es 2 variablen in der Funktion gibt. Einmal e und x.
Erstens geht das nicht, zweitens trüge es noch nicht einmal dann etwas zur Nullstellenfindung bei, wenn es ginge.
Ja weil es keine Nullstellen für diese Funktion gibt! Erkennt man ja darin, weil es 2 variablen gibt!
Das geht leider nicht, weil ich auf der einen Seite das e^x hab, sprich:
e^x*(x²-2x+1) = x²-2x+1
Da gehts nicht weiter.