Schnittpunkt der Diagonalen beim unregelmäßigen 6-Eck (konvex, konkav)?
Mich haut es gerade bei folgender Fragestellung aus der Bahn, und hänge fest:
- Beim regelmäßigen 6-Eck kann man 3 Geraden zeichnen, die jeweils die gegenüberliegenden Ecken verbinden. Die 3 Geraden haben dann einen gemeinsamen Schnittpunkt, quasi der Mittelpunkt vom 6-Eck. Das ist recht offensichtlich, da braucht keine großen Nachweise führen.
- Aber beim unregelmäßigen 6-Eck (egal konvex oder konkav) ... Man kann mit einer Skizze schnell "zeigen", dass sich die Geraden ("Diagonalen") in einem Punkt treffen, aber findet auch ganz einfach Beispiele, dass die Geraden keinen gemeinsamen Schnittpunkt haben. Wie argumentiert man hier sinnvollerweise? z.B. bei einer Matheaufgabe. Dass ein unregelmäßiges 6-Eck einen gemeinsamen Schnittpunkt haben kann, aber nicht muss.
Danke.
3 Antworten
Fange umgekehrt an: Zeichen zunächst 3 Geraden, die einen gemeinsamen Schnittpunkt haben. Davon gibt es unendliche viele Konstellationen. Jedes mal kann du unendliche viele 6 Ecke einzeichnen, deren Eckpunkte auf den Geraden liegen.
Jetzt kannst du aber auch jeden Punkt senkrecht zu der dazugehörigen Geraden bewegen. Die so entstehenden Sechsecke haben dann keinen gemeinsamen Schnittpunkt der Diagonalen mehr.
Super Ansatz ... perfekt ... ich hatte das berühmte Brett vor dem Kopf ...
Die Überlegung könnte sein, dass Du ausgehend von einem Sechseck mit einem gemeinsamen Schnittpunkt aller drei Diagonalen, einfach eine Außenecke verschiebst. Wenn diese Verschiebung nicht genau in der Richtung der Diagonalen erfolgt, dreht sich diese Diagonale (Drehmittelpunkt ist natürlich die gegenüberliegende Ecke) und führt nicht mehr durch den Schnittpunkt der anderen beiden Diagonalen.
Gehe vom regelmäßigen 6-Eck aus. Verschiebe einen Eckpunkt längs der Diegonalen, gemeinsamer Diagonalenschnittpunkt bleibt, anderenfalls nicht.Muta mutandis nach genauer Fragestellung