Relativitätstheorie Aufgabe Hilfe?
Bei Nr. 1c) weiß ich irgendwie nicht so ganz weiter. V ist gesucht, aber für die Formel brauche ich ja noch t0. Da hatte ich mit den vorherigen Ergebnissen (t0=18J und t'=12,7J) versucht, den Faktor zu bestimmen und bin dann für t0 auf 1,4J gekommen, wenn es 1J für den bewegten Körper sein soll, aber v ist dann nur 0.4c, was ja nicht stimmen kann. Den Rest hab ich. Wäre nett, wenn mir jemand helfen könnte:)
Formel zur Zeitdilatation: t'=t0Wurzel(1-v^2/c^2)
4 Antworten
Hallo haileys,
die vorherigen Ergebnisse kannst Du nicht brauchen, denn die Aufgabenteile haben wenig miteinander zu tun.
Ich werde im Folgenden Strecken wie Zeitspannen in Jahren (a) angeben, sodass die Lichtgeschwindigkeit c definitionsgemäß gleich 1 ist. Auch meine Bezeichnungen werden etwas andere sein, und meine Herangehensweise.
Die Begriffe 'Zeitdilatation' und 'Längenkontraktion' sind nämlich äußerst unglücklich gewählt. Anstelle eines wüsten Gezerres und Gequetsches ist nämlich die LORENTZ- Transformation (LT), die Umrechnung zwischen relativ zueinander bewegten Koordinatensystemen, eine ganz sanfte Uminterpretation der physikalischen Größen.
Stell Dir vor, Du hast geometrische Figuren auf ein Blanko-Papier gezeichnet und legst karierte Folie mit einem z-x-Koordinatensystem darüber, in dem dann jeder Punkt Koordinaten bekommt. Drehst Du die Folie, ändern sich die Koordinaten, aber die Zeichnung nicht, und vor allem nicht die Entfernung bzw. deren Quadrat
(1) Δs² = Δz² + Δx².
Etwas Ähnliches passiert in der Raumzeit bei einer LT. Sie lässt die absolute Entfernung zwischen zwei Ereignissen bzw. deren Quadrat
(2) Δτ² = Δt² − Δs²
invariant (unverändert).
Das Minuszeichen macht den Unterschied zwischen Zeit und Raum aus und ergibt sich daraus, dass die Lichtgeschwindigkeit in jedem Koordinatensyste denselben Betrag c bzw. 1 hat. Es bringt auch zum Ausdruck, dass Umwege in der Raumzeit kürzer sind als der direkte Weg („Zeitdilatation“).
Nun ist Δτ nichts anderes als die Eigenzeit, die ein Beobachter misst, für den die Ereignisse gleichortig sind, also am selben Ort stattfinden. Sind das Deine Abreise und Ankunft, ist das gerade Deine Bordzeit, Δt = Δs⁄v ist die Koordinatenzeit und Δs die Strecke. In diesem Fall ist Δs = 4,5a und Δτ = ½a (nur Hinweg; für den Rückweg ergibt sich dasselbe noch einmal). (2) wird zu
(3.1) Δτ² = (Δs⁄v)² − Δs² = Δs²(1⁄v² − 1))
(3.2) (Δτ⁄Δs)² = 1⁄v² − 1
(3.3) (Δτ⁄Δs)² + 1 = 1⁄v²
(3.4) v = 1⁄√{1 + (Δτ⁄Δs)²} = 1⁄√{82⁄81} = √{81⁄82}.
Hier ein Ansatz der meiner Ansicht nach klappen sollte: Ersetzt v durch s/t'. t' beträgt 1 Jahr und die s 4,5 Lichtjahre. Links kannst du t' ebenfalls durch 1 Jahr ersetzen. Danach formst du nach t um. Hast du t, kannst du wieder mit der klassischen Mechanik rechnen: v = s/t, so kommst du dann auf v.
Das hatte ich leider auch schon versucht, aber dann wird die Wurzel mit 1 - 4.5^2 negativ...
Wir haben die Längenkontraktion nicht berücksichtigt. v kann nur durch s'/t' ersetzt werden. Hast du ne Formel dazu?
Ne leider nicht:/ Ich hab nur die Formel zur Längenkontraktion an sich, aber dafür ist ja auch wieder die Geschwindigkeit gefragt...
Wir haben die Längenkontraktion nicht berücksichtigt.
Die Interpretation der Flugstrecke als „verkürzt“ ist daran gebunden, dass der Reisende als „ruhend“ und seine Uhr als „normal laufend“ gilt.
Also: Nicht der Reisende fliegt statt der Strecke s eine kürzere Strecke s⁄γ, sondern das Reiseziel, das auf ihn zukommt, ist zu dem Zeitpunkt nur mehr s⁄γ entfernt.
s/t' = γv = √{v²⁄(1 − v²)}
= √{1⁄(1⁄v² − 1)}
t'²⁄s² = 1⁄v² − 1
t'²⁄s² + 1 = 1⁄v²
1⁄(t'²⁄s² + 1) = v²
1⁄√{t'²/s² + 1} = v
Die Wurzel muss 1/18 sein.
Hin und zurück benötigt man von der Erde aus 18 Jahre. Die sollen auf ein Jahr schrumpfen.
Nein, das wäre die Zeit von der Erde aus betrachtet und t' muss noch in die formel integriert werden.
Die Zeit auf der Erde muss in der Raumkapsel auf den 18. Teil schrumpfen, das geschieht durch den Wurzelfaktor
Formel zur Zeitdilatation: t'=t0Wurzel(1-v^2/c^2)
hat du doch selbst geschrieben t' = 1, to = 18
t=(L/v) *wurzel(1-v^2/c^2) nach v auflösen.
mit t=1 jahr, L=9 lichtjahre.
Danke für die ausführliche antwort!!:)