Rekonstruktion einer Funktion 3. Grades?
Hey könnt ihr mir da weiterhelfen? Ich weiß nicht wie ich die Gleichungen sinnvoll 'bearbeite' damit ich die einzelnen Variablen herausbekomme :/ Danke im Vorraus
5 Antworten
Bei mir sieht so etwas folgendermaßen aus, und es wäre schön gewesen, wenn du sie abgetippt hättest. Dann hätte ich sie nicht nochmal abschreiben müssen und Zeit gewonnen. Denn sie stimmen ja.
I -12a + 2b = 0
II 48a - 8b + c = 0
III 12a - 4b + c = -12
IV -8a + 4b - 2c + d = 6
Diese Gleichungen sind etwas unsymmetrisch. Man sollte erst das d entfernen. Da wir dafür aber keine zwei Gleichungen haben, basteln wir eine.
II + IV 40a - 4b - c + d = 6
IV -8a +4b - 2c + d = 6 oben abgeschrieben
Die beiden addiere ich zur Gleichung V
V 32a - 3c + 2d = 12
IV - 8a + 4b - 2c + d = 6 | *(-2) wird zu VI
VI 16a - 8b + 4c - 2d = -12
V + VI 48a - 8b + c = 0 d ist dann weg
III 12a - 4b + c = -12
Diese beiden muss ich jetzt subtrahieren:
36a - 4b = 12 Darunter setze ich die verdoppelte I
I -24a + 4b = 0
Diese jetzt addieren:
12a = 12
a = 1
Einsetzen in I -12 + 2b = 0
b = 6
Jetzt einsetzen in III 12 - 24 + c = -12
c = 0
Und schließlich d = -10
Das ergibt f(x) = x³ + 6x² - 10
Darauf treffen alle Bedingungen zu, wie man leicht errechnen kann.
Genau das; du bist blind.
Weil dir dein Lehrer nix Gescheites beibringt.
Weil du nicht auf mich hörst.
Weil ich soo'n Hals habe; weil ich immer wieder alles von Vorne erklären muss wie einem kleinen Kind.
Alle kubistischen Polynome singen immer wieder die selbe Melodie.
Dies ist eine Steckbriefaufgabe; Diktat für Formelsammlung, Regelheft und Spickzettel. Wer in eine Schulaufgabe mehr wie zwei Unbekannte investiert, ist selbst schuld.
Alle kubischen Polynome verlaufen PUNKT SYMMETRISCH gegen ihren WP.
( x/y ) ( w ) = 1/2 [ ( x/y ) ( max ) + ( x/y ) ( min ) ] ( 1 )
( 1 ) ist eine direkte Folge dieser Symmetrie; überlege warum.
Genau wie beim Schach oder Sudoku nutzen wir hier Gnasen los eine Info, von der dein Lehrer gar nicht will, dass du sie kennst:
Das Minimum wenn dunbei ( - 2 ) hast und den WP bei ( - 4 ) ; WO erwarten wir dann das Maximum? Richtig; bei Minus Sex. Wir haben BEIDE NULLSTELLEN DER ERSTEN ABLEITUNG .
f ' ( x ) = k ( x + 2 ) ( x + 6 ) = ( 2a )
= k ( x ² + 8 x + 12 ) ( 2b )
Ich schick erst mal ab, weil dieser Editor immer sofort schlapp macht. Aber es folgt noch ein zweiterr Teil.
Kommando zurück; tschuldige. Du sagtest doch, WP bei ( - 2 ) , Maximum bei ( - 4 ) Dann hättest du Minimum = 0 . Wenn es als Text dasteht, mach ich weniger Fehler. Dann hast du also
f ' ( x ) = k x ( x + 4 ) = ( 1.2a )
= k ( x ² + 4 x ) ( 1.2b )
Jetzt hast du die Wendetangente; die Steigung berechnest du doch am Besten mit der faktorisierten Form ( 1.2a )
- 2 k ( 4 - 2 ) = - 4 k = ( - 12 ) ===> k = 3 ( 2.1 )
f ' ( x ) = 3 ( x ² + 4 x ) ( 2.2a )
Bisher haben wir überhaupt nur eine Unbekannte; den ===> Leitkoeffizienten k . Was ist zu tun? ===> Integrieren, ===> Stammfunktion, " Aufleiten. " Den einwand, das hattet ihr noch nicht, lasse ich nicht gelten; du weißt sehr wohl, welche Funktion Ableitung ( 2.2a ) hat:
f ( x ) = x ³ + 6 x ² + C ( 2.2b )
C ist die ===> Integrationskonstante; der Freiheitsgrad, den wir jetzt benötigen, wenn wir f ( w ) einsetzen.
- 2 ³ + 6 * 2 ² + C = 4 ( 6 - 2 ) + C = 16 + C = 6 ===> C = ( - 10 ) ( 2.3a )
f ( x ) = x ³ + 6 x ² - 16 ( 2.3b )
Es folgt noch ein Teil 3
Dir fällt nicht eine Metode ein; mir gleich zwei. Mach dich mal schlau über die ===> Taylorreihe; es ist wirklich nix Böses. Ein Polynom kannst du nämlich um einen beliebigen Entwicklungspunkt x0 entwickeln:
f ( x0 + h ) = f ( x0 ) + h f ' ( x0 ) + 1/2 h ² f " ( x0 ) + a3 h ³ ( 3.1a )
Dabei wurde gesetzt
h := x - x0 ( 3.1b )
Jetzt schau mal auf deinen Zettel; wir kennen wieder sämtliche Ableitungen bis auf den Leitkoeffizienten a3 . also eine Unbekannte.
f ( x0 + h ) = 6 - 12 h + a3 h ³ ( 3.2a )
Jetzt hatten wir aber gesagt, die Ableitung bei x = ( - 4 ) , entsprechend h = ( - 2 ) , ist Null.
f ' ( x0 + h ) = 3 a3 h ² - 12 ( 3.2b )
Jetzt h einsetzen
3 * 4 a3 - 12 = 12 ( a3 - 1 ) = 0 ===> a3 = 1 ( 3.2c )
in Übereinstimmung mit ( 2.3b )
f ( x0 + h ) = h ³ - 12 h + 6 ( 3.3a )
Um auf die form ( 2.3b ) zu reduzieren, musst du alles umrechnen auf x = 0 bzw. h = 2 .
f ( x0 + 2 ) = ( - 10 ) ( 3.3b )
Ich seh grad; in ( 2.3b ) hatte ich mich verschrieben. Bitte korrigieren.
Die erste Ableitung, der x-abhängige Term in ( 2.3b ) muss verscwinden; das wissen wir schon von der Symmetrie. Und die 2. Ableitung von ( 3.3a ) schaffst du sicher alleine; beachte ( 3.1a )
aus II und III das c rauswerfen
dann mit I a und b berechenen
dann einsetzen in lll und c berechnen
alles in IIII einsetzen und d berechnen