Rechnen in komplexen Zahlen?

Wie genau würde man (1/2+root(3)/2i)^100 berechnen?
Ich dachte eventuell mit Polardarstellung, aber weiß nicht wirklich, wie die anzuwenden ist, da das Thema sehr neu für mich ist.

Answer 1

[ProfFrink]

Polardarstellung bedeutet, dass der Real- und Imaginarteil der Basis in der komplexen Ebene durch einen Abstand vom Ursprung dem Radius r und einem Winkel dargestellt werden. Der Radius ist gleichbedeutend mit dem Betrag der komplexen Basis, der bequem mit dem Satz des Pythagoras berechnet werden kann. - Der Winkel kann berechnet werden mit dem Arkustangens aus dem Verhältnis vom Imaginärteil zum Realteil Deiner Basis.

Aber die muss noch wenig "aufbereitet" werden, damit Real- und Imaginärteil klar hervortreten

$\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2i}=\frac{1}{2}+i\cdot\frac{\sqrt{3}}{2i\cdot i}=\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}$ Berechnung des Radius

$r=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}=\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{3}{4}}=1$

$\ \phi=\arctan\frac{\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}{\frac{1}{2}}=\arctan\left(-\sqrt{3}\right)=-60°$ Zur Berechnung der 100-ten Potenz wird nun der Radius in die 100-te Potenz erhoben.

$1^{100}=1$ was in diesem Fall nicht sehr aufregend ist. Der Winkel wird nun nach dem Satz von Moivre mit dem Faktor 100 multipliziert.

$-60°\cdot100=-6000°$

Darin ist der Vollwinkel von 360° 16 mal enthalten. Der Restwinkel beträgt demnach

$6000°-16\cdot360°=240°$ $\phi=-240°$ Die gesuchte Potenz kann nun wieder in kartesischen Koordinaten dargestellt werden.

$z=\cos\left(-240°\right)+i\cdot\sin\left(-240°\right)$

wobei hier Spezialwerte der Winkelfunktionen abgefragt werden. Die 100-te Potenz

ergibt sich zu

$z=-\frac{1}{2}+i\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}$

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung