Räumliche Struktur, Vektoren?
Hallo, es wäre nett, wenn Sie mir bei dieser Frage helfen könnten:)
Gegeben sei ein Rechteck ABCD. Die Punkte P auf AB, Q auf BC, R auf CD und S auf
AD seien innere Punkte der Rechteckseiten (siehe Abbildung A 601213). Für welche Lagen
der Punkte P, Q, R und S hat das Viereck P QRS den kleinsten Umfang?
Hinweis: Innere Punkte einer Strecke sind alle Punkte dieser Strecke mit Ausnahme der Endpunkte
1 Antwort
Das äußere Rechteck habe die Länge a und die Höhe b.
Nu gehe ich nicht stur mathematisch vor, sondern überlege:
Eine Extremlage wäre, wenn die Punkte RSQP mit den Punkten ABCD zusammenfiele. Dann betrüge der Umfang des inneren Rechtecks Ui1 = 2a + 2b = 2 (a + b)
Nun untersuche ich die andere Extremlage, dass RSQP genau in der Mitte von a und b liegen:
Dann beträgt laut Pythagoras Ui:
Ui2 = 4 * √(a/2)^2 + (b/2)^2 = 4 * √1/4 a^2 + 1/4 b^2 = 4 * 1/2 * √a^2 + b^2
= 2 * √a^2 + b^2
Nun vergleichen wir Ui1 und Ui2 wieder anhand von Pythagoras bzw. eines rechtwinkligen Dreiecks:
√a^2 + b^2 ist die Hypothenuse und die ist immer kleiner als die Summe der beiden Katheden (a + b)
Wenn ich einen oder mehrere der Punkte RSQP von dem Extrem ABCD nach innen zur Mitte wandern lasse, wird die jeweilige Hypothenuse immer kürzer. Sobald der Punkt über die Mitte hinauswandert, nähert er sich dem anderen Außenpunkt und die Hypothenuse wird wieder länger. Daher liegt das Minimum Ui dann vor, wenn RSQP genau auf der Mitte der Seiten a und b liegen.
Das ist eine offensichtliche Tatsache, dass die Strecke (Seite c) zwischen zwei Punkten immer kürzer ist als ein Umweg über Punkt C, denn schon per Defintion ist die Strecke immer die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten. Also muss alles andere länger sein.
Sie haben die Fläche=2 * √a^2 + b^2 ausgerechnet aber beim zweiten Dreieck 2 einfach weggelassen. wieso? Und wie kann √a^2 + b^2 die Hypothenuse des Dreiecks sein, wenn nach dem Satz des Pythagoras sie=√2(a*b) sein muss?
Der Satz des Pythagoras lautet:
c^2 = a^2 + b^2
also ist c = √(a^2 + b^2)
Welchen Pythagoras du anwendest kann ich nicht erkennen.
Wie beweisen Sie, dass die Hypothenuse immer kürzer wird?