Projektion gerader auf ungerader Funktion?
Hallo,
ich habe eine Beispielrechnung der ich nicht so recht folgen könnte, vielleicht fällt jemandem dazu etwas ein.
Begründet wurde der Rechenschritte mit: “z(t) ist eine gerade Funktion. Wenn z(t) gerade auf cos(x) - jsin(x) und Sinus ist eine ungerade Funktion, kann man sich die Projektion auf Sinus sparen.“
Ich weis das gerade Achsensymetrisch und ungerade Punktsymetrisch, sowie gerade*gerade=gerade und gerade*ungerade=gerade bei Funktionen ergibt.
Jedoch ist mir oftmals nicht ganz klar was für Schlüsse man daraus für die entsprechenden Funktionen ziehen kann.
Vielen Dank im Voraus.
1 Antwort
Man hat zuerst den integranden ausmultipliziert, also zu
|cos(...)| * cos(...) – |cos(...)| * sin(...)
umgeformt. Rechts steht ein ungerade Term, links ein gerader, da |cos(x)| und cos(x) gerade, aber sin(x) ungerade und gerade mal ungerade wieder ungerade ist.
Rechts das Produkt fällt also weg, da über –T/2 bis T/2 integriert wird. (Wenn die untere und obere Grenze bei ungeraden Integranden sich nur im Vorzeichen unterscheiden, so ist das Inegral null.)
Da links ein gerade Ausdruck steht, also das Integral von 0 bis T/2 das selbe ist wie von –T/2 bis 0, können wir das zu einem Inegral von bis T/2 zusammenfassen und das aber eben noch verdoppeln.
Der Betrag von z darf aufgehoben werden, wenn z über dem Inegrationsbereich auch ohne Betrag nur nichtnegative Werte annimmt - das kann ich aber gerade nicht erkennen, ich weiß also nicht, wieso der Betrag nicht mitgeschrieben wurde.
Dankeschön, das mit dem symmetrischen Integral über eine Ungerade Funktion = 0 hatte ich nicht auf dem Schirm. Koss