Frage von Thrawn, 93

Potenzielle Energie im Erdmittelpunkt gleich +/- unendlich?

Hallo,

Ich stelle mir gerade die Frage, wieso bei jeder Darstellung der potenziellen Energie, die mit Maßstäben außerhalb der Erde arbeitet, die potenzielle Energie im Mittelpunkt als minus Unendlich dargestellt wird.

Im Prinzip müsste sie im Erdmittelpunkt aufgrund von h=0 ja mg0=0 betragen oder irre ich mich da?

Oder ist mgh hier einfach nur eine Näherung, die nicht mehr funktioniert und man nun mit -GMm*1/r rechnen muss? Trotzdem wäre dieser extreme Konflikt mit mgh noch verwunderlich für mich.

Ich hoffe ich konnte mein Problem einigermaßen klar ausrücken und das mir es jemand verständlich erklären kann :) Grüße Thrawn

Expertenantwort
von SlowPhil, Community-Experte für Physik, 8
Potenzielle Energie … gleich +/- unendlich?

Positiv ist sie auf keinen Fall, weil die Gravitation eine ausschließlich anziehende Kraft ist.

…wieso …die potenzielle Energie im Mittelpunkt als minus Unendlich dargestellt wird.

Wird sie nicht. Eine Kugel mit radialsymmetrisch verteilter Masse M und Radius R erzeugt für r > R ein G-Feld, das dem einer Punktmasse M bei r = 0 gleicht, und das würde für r→0 schon gegen –∞ gehen.

Allerdings wird gern versäumt, zu erwähnen, dass sich innerhalb der Kugel die Beziehung V ~1/r nicht für r < R fortsetzt, sondern ∂V/∂r nach innen abnimmt. Im Inneren einer homogenen Kugel wäre es z.B.

V = GM/2R(r²/R²–3), (https://de.wikipedia.org/wiki/Potential\_%28Physik%29#Bestimmung\_der\_Konstante...)

also ein harmonischer-Oszillator-Potential.

Im Prinzip müsste sie im Erdmittelpunkt aufgrund von h=0 ja mg0=0 betragen…

Du kannst zwar bei r = 0 auch V = 0 setzen, aber nicht mgh anwenden, denn g ist ja überhaupt keine Konstante.

Oder ist mgh hier einfach nur eine Näherung, die nicht mehr funktioniert…

…sobald man über einen größeren Bereich von r spricht, als dass man Änderungen von g vernachlässigen könnte. Ganz genau so ist es: Es ist eine Näherung für h≪R. (s.u.)

Trotzdem wäre dieser extreme Konflikt mit mgh noch verwunderlich für mich.

Den gibt es nicht. Natürlich ist das auf den ersten Blick voll die andere Formel, aber wenn man bedenkt, dass bei r=R

g = –g·e_r = –e_r·GM/R², also g = GM/R²

ist und die Anhebung eines Körpers mit m von R nach R+h die Arbeit

∆Eₚ = m·∫_{R}^{R+h} dr·(–GM/r²) = –m·GM{1/(R+h) – 1/R}
       = –m·GM{–h)}/{R(R+h)}
       =   m·h·GM/{R²(1+h/R)}
       =   m·h·g/(1+h/R) = m·h·g·(1 – h/R + 𝓞(h²/R²)),

was für kleine h ziemlich genau m·h·g ist. Das ist natürlich die potentielle Energiedifferenz ∆Eₚ, nicht Eₚ selbst, aber das Potential –GM/R immer mitzuschleppen ist unpraktisch, und so ist m·h·g gleichsam die »lokale« Version. Es ist ähnlich wie bei der Celsius-Skala versus Kelvin-Skala.

Antwort
von NoHumanBeing, 48

Wenn Du Dir die Erde als Punktmasse vorstellst (gesamte Masse im Mittelpunkt konzentriert), so ist die potentielle Energie dort tatsächlich "minus unendlich". Eine Masse würde unendlich stark beschleunigt werden, weil die Gravitationskraft wie 1/(r^2) geht und im Nenner dann eine Null stünde.

Da die Erde allerdings ausgedehnt ist, ist die potentielle Energie dort eher "null" und ein Körper würde netto überhaupt keine Kraft erfahren.

Potentiale setzt man gemeinhin für "r -> unendlich" auf null. Somit ist jedes Gravitationspotential in endlichem Abstand zu einer Masse negativ.

m * g * h gilt im übrigen nur im homogenen Gravitationsfeld (näherungsweise "in der Nähe der Erdoberfläche"). Sobald der Abstand zum Gravitationszentrum eine Rolle spielt, handelt es sich um das Gravitationsfeld einer Punktmasse.

Kommentar von NoHumanBeing ,

Für die Wirkung der Gravitationskraft im Feld einer Punktmasse (unter Vernachlässigung relativistischer Effekte), siehe Newton'sches Gravitationsgesetz.

https://de.wikipedia.org/wiki/Newtonsches_Gravitationsgesetz

Kommentar von atoemlein ,

Genau. Es kommt drauf an, ob man es mathematisch definiert oder realistisch. Und ob man mit Punktmassen oder ausgedehnten Körpern rechnet. Und wie man "minus unendlich" interpretierten soll.
Real ist die potentielle Energie einer Testmasse im Erdmittelpunkt tatsächlich null. Sie erfährt keine Kraft (bzw. alle Kräfte heben sich auf) und demnach erfährt der Körper auch keine Beschleunigung. Oder wohhin sollte er denn beschleunigt werden? Er ist schon im tiefsten Punkt des Gravitationspotentials.

Antwort
von LewisM, 19

Du kannst auch wenn du auf einem stuhl sitzt sagen, dass du die höhe 0, und damit keine potentielle Energien besitzt. Das liegt daran, dass die potentielle (und auch die kinetische) Energie nur in Abhängigkeit eines Bezugssystems funktionieren. Das kann dein Fußboden, aber auch der Erdmittelpunkt sein.

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