Polstelle, wann mit VZW wann ohne?
Polstellen mit ungeraden exponenten sind doch wie unten im Bild erklärt, Polstellen mit Vorzeichenwechsel und umgekehrt ist es ohne Vorzeichenwechsel?
Haben wir da einen Vorzeichenwechsel weil die sich in Linearfaktoren spalten? Aber wann hätten wir denn dann Polstellen ohne VZW?
2 Antworten
Beispiel: f(x)=1/(x-2)² und g(x)=1/(x-2)³ Beide Funktionen haben eine Polstelle bei x=2.
Schauen wir etwas rechts von x=2, zum Beispiel bei x=2,1. Dort gilt:
f(2,1)=1/(2,1-2)²=1/0,1²=100>0 und auch g(2,1)=1/(2,1-2)³=1/0,1³=1000>0.
Jetzt schauen wir etwas links von x=2, zum Beispiel bei x=1,9. Dort gilt:
f(1,9)=1/(1,9-2)²=1/(-0,1)²=100>0, nun aber g(1,9)=1/(1,9-2)³=1/(-0,1)³=-1000<0
Beim geraden Exponent wird also das Minus im Faktor (x-2) wieder zum Plus, falls denn mal eins da ist, aber beim ungeraden Exponent bleibt das Minus. Deshalb wechselt das Vorzeichen für den geraden Exponent nicht, für den ungeraden aber schon.
Steht doch drüber? Ungradzahlige Nennernullstelle bewirkt, dass links und rechts in der Nähe der Nullstelle der Nenner unterschiedliches Vorzeichen hat.