Kann mir jemand sagen, wie folgende Aufgabe zu lösen ist?
Hallo,
Bei einem Sturm weht ein Wind über ein Hausdach und erzeugt einen Unterdruck. Bei welcher Windgeschwindigkeit (in km/h) werden Dachpfannen mit einem Gewicht von 3,4 kg und einer Fläche von 30 cm×30 cm angehoben? Die Dichte der Luft beträgt 1,3 kg/m−3.
Danke im Voraus;)
4 Antworten
Grundansatz ist ja, dass Druck mal Fläche eine Kraft ergibt.... Durch den Wind kommt es zu einer Verringerung des Staudruckes (Bernoulli-Gleichung) oberhalb der Dachpfannen, unterhalb der Dachpfannen wirkt immer noch der gleiche Staudruck wie zuvor. Wenn die Differenz an Staudruck so groß wird, dass die wirkende Kraft (von unten nach oben) die Gewichtskraft der Dachpfannen übersteigt, werden die Dachpfannen angehoben.
Du müsstest also zunächst den notwendigen Differenzdruck bestimmen können, damit die Dachpfannen angehoben werden (Fg = P*A) und dann Anhand der Bernoulli-Gleichung die Geschwindigkeit, um diesen Differenzdruck zu erzeugen. (Ist bei mir leider zu lange her, als das ich das selbst noch auf die Reihe bekommen würde)
Irgendwie blicke ich da nicht so ganz durch. Da ist doch z. B. Die Höhe mit drin, die habe ich doch in der Aufgabe gar nicht gegeben.
Also ich würde es mal mit einem Kräftegleichgewicht versuchen:
aber zunächst Bernuoli:
kurze Erläuterung: der totalDruck P besteht aus einem dynamischen und einem statischen Anteil.
dynamischer Anteil: roh/2*v²
statischer Anteil: roh*g*h + P0
roh*g*h ist der Druck durch die Luftsäule, P0 ist der sogenannte Betriebsdruck, bei uns 0.
desweiteren gilt:
und noch ein paar Variablen:
Fu = Pu*A + Fg ; Kraft nach unten (hällt die Dachpfanne auf dem Dach)
Fo = Po*A ; Kraft nach oben (lässt die Dachpfanne abheben)
A: Fläche Dachpfanne
Po: Druck oben, nicht zu verwechseln mit P0 !
Pu: Druck unten
P0: sogenannter Betriebsdruck, wir haben hier keinen Betriebsdruck, also 0
Fg: Gewichtskraft
v0: Strömungseschwindigkeit unter der Dachpfanne = 0
v1: gesucht
.
So, jetzt aber:
Kräftegleichewicht:
Fu = Fo (bei einer bestimmeten Grenzgeschwindigkeit, kurz vor dem wegfliegen)
Fg + Pu*A = Po*A
mit: v0=0 (keine Strömung unter der Dachpfanne)
P0 = 0
roh*g*h ist auf beidenseiten gleich, denn wir haben quasi keinen Druckunterschied zwischen Ober und Unterseite der Dachpfanne aufgrund ihrer geringen Dicke. roh*g*h fliegt also auch raus.
es bleibt:
das müsste es sein :-)
Also zuerst überlegen wir mal, was da genau passiert. Die Dachpfannen werden durch die Druckdifferenz zwischen Unterseite und Oberseite der Dachpfannen angehoben, denn Druck mal Fläche ergibt eine Kraft. Diese Kraft Fb muss größer sein als die Gewichtskraft und wenn das der Fall ist, hebt es die Dachpfannen an, wenn sie nur lose auf dem Dachstuhl aufliegen.
Also rechnen wir zuerst mal die Druckdifferenz aus, damit gilt:
Fb = Fg
Fb = Δp * A
Es gilt also:
Δp * A = m * g
Δp = m * g / A = 34 N / (0,3 m)^2 = 377,8 N/m^2
Nun kommt die alte Frau Bernoulli ins Spiel:
Δp ist der dynamische Anteil in der Bernoulligleichung, denn der Wind bläst ja nur über die Oberseite, während auf der Unterseite Windstille herrscht. Dieser beträgt:
Δp = p_dyn = ρ * u^2/2
Das lösen wir nach u auf, denn das ist ja gesucht:
u^2 = 2 * Δp / ρ = 2 * 377,8 N/m^2 / 1,3 kg/m^3 = 581,2 m^2/s^2
u = √581,2 m^2/s^2 = 24,11 m/s = 24,11 * 3,6 km/h = 86,8 km/h
Das entspricht der Windgeschwindigkeit von einem Sturm mit etwa Windstärke 9. Das kommt schon mal vor und damit die Dachpfannen da nicht wegfliegen, werden sie am besten mit Draht an der Lattung befestigt.
Schau unter dem Stichwort Bernoulli-Gleichung.
Ja, dass es mit der Bernoulli Gleichung zu tun hat, dachte ich mir. Aber trotzdem komme ich da nicht wirklich weiter.