Physik senkrechter Wurf, Anfangsgeschwindigkeit berechen?

Die Aufgabe lautet:

Ein Körper wird senkrecht nach oben geworfen. Leiten sie je eine Gleichung her, mit der man die Anfangsgeschwindigkeit v0 eines Körpers beim senkrechten Wurf nach oben aus der Steighöhe h bzw. der Wurfzeit tw bestimmen kann.

Ich würde mich über ein wenig Hilfe dabei freuen.

Answer 1

[SlowPhil]

Hallo EmiliaH1,

vielleicht ist es hilfreich, sich die Geometrie zur Hilfe zu nehmen, und zwar in einem t-v-Diagramm, das die Geschwindigkeit als Funktion der Zeit, v(t), darstellt. So stellt sich die Beschleunigung a(t) bzw. a=const. als Steigung bzw. als Gefälle von v(t) dar.

Vorzeichen und Richtung

Sowohl v als auch a sind eigentlich gerichtete Größen. Im Eindimensionalen wie hier (es kommt ja nur die Vertikale, oft z-Richtung genannt, vor) ist damit gemeint, dass v und a beide Vorzeichen haben können und ein negatives Vorzeichen die der „positiven“ Richtung entgegengesetzte Richtung bezeichnet.

Vielleicht hast Du schon mal gehört, dass Abbremsung negative Beschleunigung sei. Dies stimmt nur dann, wenn man die aktuelle Geschwindigkeit als positiv deklariert. In Wahrheit wirkt eine Beschleunigung dann abbremsend, wenn ihr Vorzeichen dem von v entgegengesetzt ist.

Wegstrecke und Position

Die vom Ausgangspunkt aus zurückgelegte Wegstrecke entspricht der Fläche zwischen Funktionsgraph und t-Achse; die erreichte Position relativ zum Ausgangspunkt ist ebenfalls die Fläche zwischen Funktionsgraph und t-Achse, aber die unter dieser liegende Fläche müssen subtrahiert werden.

Dies ist besonders einfach auszurechnen, wenn a=const. ist.

Der senkrechte Wurf

Beim senkrechten Wurf ist a=const, und zwar, wenn wir die positive z-Richtung nach oben definieren, a=–g=–9,81m/s².

Für den senkrechten Wurf setze ich z=0 für die Höhe, die die Hand hat, wenn der hochgeworfene Körper die Hand verlässt, und ich setze auch t=0 für dieses Ereignis. Der Körper startet also mit einer Geschwindigkeit v₀=v(t=0).

Mit v(t) geht es von Anfang an abwärts, im Prinzip auch über v=0 hinaus, denn im Moment, wo der Körper z=h erreicht hat, beginnt er wieder zu fallen, bis er bei z=–2m (zum Beispiel) auf dem Boden aufschlägt.

In unserem Beispiel verfolgen wir die Sache nur bis zum Umkehrpunkt bei z=h, sodass die Geschwindigkeit positiv bleibt. Dadurch wird das zu einem (inversen) Bremsweg-Problem, ähnlich wie bei einem Zug, bei dem man wissen will, wie schnell er bei Beginn der Bremsung sein darf, wenn der Bremsweg ein bestimmtes Maß nicht überschreiten soll.

Wir haben ein Dreieck, dessen Steigung festliegt (nämlich –g) und dessen Grundseite t_w (oder kurz T) oder Fläche z(T)=h gegeben ist; gesucht wird die Höhe v₀.

Falls T gegeben ist, ist die Sache einfach:

(1.1) Höhe (des Dreiecks) = Gefälle × Grundseite

(1.2) v₀ = –a·T = g·T

Falls h gegeben ist, muss man erst einmal umstellen:

(2.1) Fläche = Grundseite × Höhe (des Dreiecks)/2

(2.2) h = T·v₀/2 = T·g·T/2 = ½·g·T² |·g

(2.3) h·g = ½·g²·T² = ½·v₀²

(2.4) 2·h·g = v₀²

(2.5) v₀ = √{2·h·g}

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung

Comments

[SlowPhil]

Danke für den Stern.

Answer 2

[Sapiens1337]

Bei dem senkrechten Wurf handelt es sich um eine gleichmäßig beschleunigten Bewegung, die Gesetze dafür lauten:

$a=g=9,81\ \frac{m}{s^2}=konst,$ $y=v_0\cdot t-\frac{1}{2}\cdot g\cdot t^2$ $v=v_0-g\cdot t$

Der nach oben geworfene Körper bewegt sich soweit senkrecht nach oben, bis seine Geschwindigkeit = 0 ist

Es folgt folgende Gleichung:

$0=v_0-g\cdot t$ $v_0=g\cdot t$

wobei t hier der Zeit entspricht, in die der Körper nach oben steigt (Steigzeit).

Nach der besagten Steigzeit t, hat der Körper seine maximale Höhe erreicht.

Es folgt folgende Gleichung:

$y_{\max}=v_0\cdot t-\frac{1}{2}\cdot g\cdot t^2$

wobei wir wissen:

$t=\frac{v_0}{g}$

Also:

$y_{\max}=v_0\cdot\frac{v_0}{g}\cdot t-\frac{1}{2}\cdot g\cdot\left(\frac{v_0}{g}\right)^{^2}$

Vollständig gekürzt zu:

$y_{\max}=\frac{v_0^2}{2\cdot g}$

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung

Answer 3

[Franz1957]

Schau, wie der freie Fall berechnet wird. Hier ist es nur andersherum: Höhe und Geschwindigkeit verhalten sich genauso, nur die Richtung ist umgekehrt.

Zur Herleitung brauchst Du nur das Prinzip der Energieerhaltung: Die potentielle Energie am oberen Punkt der Bahn ist gleich groß wie die kinetische Energie beim Abwurf bzw. bei der Landung. Also:

Ekin (unten) = Epot (oben).

Answer 4

[fjf100]

freier Fall

1) a=-g nun 2 mal integrieren

2) V(t)=-g*t+Vo

3) S(t)=-1/2*g*t²+Vo*t+So hier So=0 Höhe bei t=0

Steigzeit S(t)=h=-1/2*g*ts²+Vo*ts

aus 2) V(ts)=0=-g*ts+Vo ergibt ts=Vo/g in 3)

h=-1/2*Vo²/g+Vo²/g=Vo²/(2*g)

Vo=Wurzel(h*2*g)

gesamte Wurfzeit t=2*Steigzeit=2*ts aus 2) V(ts)=0=-g*ts+Vo ergibt ts=Vo/g

t=2*ts=2*Vo/g

Vo=t*g/2

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – hab Maschinenbau an einer Fachhochschule studiert

Comments

[PWolff]

kleine Korrektur

Vo=t*g/4

da die gesamte Wurfzeit (2 t) berücksichtigt werden soll

[fjf100]

@PWolff

Vielen Dank !

Hab´s nicht auf Richtigkeit geprüft !

Bin zu faul um eine Proberechnung durchzuführen,weil ich dafür kein Geld bekomme.

Answer 5

[BaToJu]

du hast ja die Zeit und wenn du die durch 2 teilst erhälst du die Zeit für eine Strecke also für hoch oder runter. Der Körper hat ja v=0m/sec wenn es an der Spitze ankommt. Und Anfangsgesdchwindigkeit=Endgeschwindigkeit. Das heißt du kannst dann mit der Zeit und der Erdanziehungskraft die Endgeschwindigkeit berechnen, die ja auch die Anfangsgeschwindigkeit ist.

Bei Fragen kannst du mich gerne anschreiben :)

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung