[Physik] Proportionalität?
Guten Tag,
leider verstehe ich die Proportionalität in Physik noch nicht so gut.
[AUFGABE]
[LÖSUNG]
- Aufgabenteil a) habe ich hierbei verstanden.
- Aufgabenteil b) leider noch nicht.
Was bedeutet hier „h ~ v^2“?
Ich verstehe es einfach nicht, wie man solche Aufgaben so einfach lösen kann wie im Lösungssatz der Aufgabe.
Vielleicht kann mir jemand ja die Proportionalität anhand möglichst vieler Beispiele genau erklären. Möglichst mit so einer einfachen Lösung wie in der Aufgabe.
Es ist bestimmt richtig einfach, aber ich kann es irgendwie nicht verstehen.
5 Antworten
Proportionalitäten macht man ab der Mittelstufe, teilweise ab 6./7. Klasse (proportionale Zuordnung).
Bei losen Lebensmitteln wird der Preis nach der Masse berechnet...10 kg Kartoffeln für 3 €. DAS ist die Proportionalitätskonstante! 3 €/kg
Doppelte Masse (20 kg) => doppelter Preis (6 €)
dreifach Masse (30 kg) => dreifacher Preis (9 €)
halbe Masse (5 kg) => halber Preis (1,50 €)
Der Preis ist proportional zur Masse (Preis ~ m)
Dieses Prinzip gilt zB bei der Dichte, Geschwindigkeit, Widerstand, Arbeit, Leistung, ...
Später kommen andere Abhängikeiten dazu, zB quadratische Abhängigkeit.
Bei der gleichmäßigen Beschleunigung ist die zurückgelegte Strecke proportional zum QUADRAT der Zeit, also s~t². erkennbar ist das an der Formel s=½×a×t².
In dem Fall für die doppelte Zeit zur vierfachen Strecke, die dreifache Zeit zur 9-fachen Strecke, aber die halbe Zeit nur zu einem ¼ der Strecke.
HIER ist jetzt die Geschwindigkeit nur proportional zur Wurzel der Höhe (v~h^½).
Eine Verdopplung der Höhe ändert die Geschwindigkeit nur um den Faktor 2^½ (1,41)! Erst eine Vervierfachung verdoppelt die Geschwindigkeit, eine Verneunfachung der Höhe erst die Verdreifachung der Geschwindigkeit.
naja, man setzt ja 'einfach' die Zeit ein, aber muss sie dann quadrieren!
Also (10 s)²=(10 s)×(10 s)=100 s²
Nicht jeder Zusammenhang ist ein proportionaler!
Und beim Fallen verdoppelt sich die Geschwindigkeit eben nicht, wenn man die Höhe verdoppelt, sondern nur um den Faktor 1,41 (Wurzel 2, 2^½)
Wieso reicht es aus, nur den Faktor für v (Geschwindigkeit) in „h ~ v^2“ einzusetzen, um herauszufinden, um welchen Faktor sich die Geschwindigkeit verändert?
Und wenn in der Aufgabe steht:
“Wie schnell ist maximale Geschwindigkeit, wenn sich die Höhe verfünffacht? Die Geschwindigkeit bei einfacher höhe beträgt 10 km/h.“
Muss ich dann so vorgehen:
h ~ v^2 |Wurzel
v ~ Wurzel h
Wurzel 5 * 10 km/h = 22,36 km/h?
Kann man überhaupt „h ~ v^2“ mit „|Wurzel“ umstellen?
Ja, genauso funktioniert es! Das ist letztlich wie bei einem Dreisatz, der aber eben so einfach nur bei Proportionalitäten funktioniert!
Bei Kartoffeln würdest Du doch auch 'einfach' den Faktor nehmen...50 kg statt 10 kg...Nur das man hier zusätzlich die Wurzel berücksichtigen muss!
v²~h | √x
√(v²)~√(h)
v~√(h)
erhöht man h um den Faktor 5, steigt v nur um √(5)!
v=10 km/h bei h1, => √(5×h1) ~ √(5)×10 km/h
Zu Zeiten von Newton hat man wohl nur so gerecnet! Heute haben wir Formeln, könen entweder Zwischenwerte berechnen (potentielle E) und die dann in die nächste Formel einsetzen (kinetische E), ODER man fasst beide zusamme und erstellt eine neue allgemeine Formel.
Also darf ich in einer Prüfung diese Rechnung auch machen:
„h ~ v^2 |Wurzel
v ~ Wurzel h
Wurzel 5 * 10 km/h = 22,36 km/h“?
Dann hätte ich es verstanden!
Ja, das darf man, das ist wie eine Gleichung!
MMn ist es sogar richtiger!
Denn 'h~v²' bedeutet eigentlich, das 'die Höhe quadratisch proportional zur Geschwindigkeit ist', was aber eigentlich nur stimmt, wenn man zB etwas senkrecht in den Himmel schießt!
Hier hängt aber die Geschwindigkeit wurzelförmig von der Höhe ab, weshalb man die Formel eigentlich andersherum schreiben müsste: v~√h
Ich dachte, dass man man nur Gleichungen mit „=„ mit „|“ (z.B. wie oben „|Wurzel“ ändern darf und nicht Gleichungen mit „~“.
Man kann aber sofort aus einer Proportionalität eine Gleichung machen, indem man den Proportionalitätsfaktor einführt! Allgemein wäre das k, in Mathe ist es die Steigung, zB m. Bei bekannten Zusammenhängen ist er selbst eine bekannte Größe!
U~I => U=R×I
m~V => m=ρ×V
F~s => F=D×s
W~t => W=P×t
v~√h => v=k×√h .... Da wäre dann die Gleichung. Aber den Schritt kann man sich auch sparen! Es gilt übrigens k=√(2g), was ja eine Konstante ist (auf der Erde). Zusammen ergibt sich dann:
v=√(2g)×√(h) bzw. v=√(2gh)
DAS würde sich aus der Gleichung von Deiner Rechnung ergeben, wenn man v²=2gh weiter umformen würde...In meinen Augen unverständlich, dass man in der Musterlösung nicht vollständig nach v aufgelöst hat, bevor h eingesetzt wird!
Eigentlich ganz einfach, wenn mal es mal ganz allgemein macht:
„h ~ v^2“ (h proportional zu v²) heißt nichts anderes als
und es ist nun gerade für die Fragestellung völlig egal was "α" genau ist. Es kann ein völlig komplizierter Bruch aus Konstanten und anderen Variablen sein oder eine einfache Zahl - spielt keine Rolle für das Folgende.
Jetzt soll v verdoppelt werden:
Also: Verdoppelung von "v" führt zum Faktor 4. Das Spiel kann man immer machen und es stellt sich immer raus, dass der Faktor ebenfalls dem Potenzgesetz unterliegt. Eine 3 mal so große Kugel hat das 3³=27-fache Volumen; eine Kugel mit dem halben Radius das 1/2³=1/8 des Volumens, da VK ~ r³ (und "α" wäre hier 4π/3 um im Beispiel zu bleiben)
Und irgendwann reicht es auch, das zig-mal gerechnet zu haben. Man weiß, was die Rechnung ergeben wird.
Energieerhaltung,
1/2*m*v^2 = m*g*h, also
v^2/2 = g*h
Also ist v^2 ~ h (~ bedeutet proportional zu), mit Proportionalitätsfaktor 2*g, da v^2 = 2*g*h.
Die Aufgaben löst du mit genau dieser Energieerhaltung.
In der Lösung haben die es irgendwie ganz einfach berechnet, einfach 2 eingesetzt in v^2 und dann geschrieben, dass zur doppelten Geschwindigkeit die vierfache Höhe gehört. Das verstehe ich nicht wie man das immer so auf diese Weise berechnen kann. Wieso haben die nur 2 eingesetzt in v^2 und nicht die (alte Geschwindigkeit * 2)^2?
Ja, ist auch richtig. Doppelte Geschwindigkeit ist ja zweimal die ursprüngliche Geschwindigkeit.
Weil die Proportionalität ausreicht um auf das ,,Vierfache“ zu kommen.
aber ich kann es irgendwie nicht verstehen.
Das, was du nicht verstehen kannst, wird gemeinhin als Erkenntnis bezeichnet.
Wenn zwei Dinge eindeutig von einander abhängen bezeichnet man das auch als Funktion! Die Gechwindigkeit ist von der Fallhöhe abhängig! Und wie sie das ist, erzählt dir eine Versuchsreihe. Egal wie viele Versuche du anstellst, es kommt immer wieder die gleich vertrackte Abhängigkeit ans Tageslicht => die Proportionnalität. Mathematisch kann man sagen: zu jedem y gehört ein a*x
also y = a*x
Wie würde die Funktion aussehen, die für die Beantwortung der Aufgabe in meiner Frage benötigt wird? Wie würde die Lösung aussehen, die man in einer Prüfung schreiben kann?
„y = a*x“ in Physik muss man immer v für Geschwindigkeit und h für Höhe verwenden. Außerdem gilt „h ~ v^2“ - wo ist das hoch 2 in deiner Funktion?
x und y sind so genannte Parameter oder Argumente, wählst du das eine, dann ist das andere Element automatisch bestimmt (es funktioniert!). Wie sie bestimmt sind ? Nürrlich über das a dahinter versteckt sich die Natur. Lies das a so: "das eine Element (v) ins Quadrat erheben!" Die Tlde ~ steht für die Proportionalität.
wenn B sich verdoppelt, verdoppelt sich auch A. Damit ist A proportional zu B.
„In dem Fall für die doppelte Zeit zur vierfachen Strecke, die dreifache Zeit zur 9-fachen Strecke, aber die halbe Zeit nur zu einem ¼ der Strecke.“
Ich verstehe zwar wie das das meinst, aber nicht, wieso das so ist.
Gegeben ist ja bei deinem Beispiel s~t^2. Wieso setzt man dann nicht die Zeit ein, z.B. Anfangszeit 10 Sekunden, also setze ich 10s * 2 = 20s ein?
Wieso kann ich hier einfach nur eine 2 einsetzen?
Ich glaube ich denke falsch.