Parameterform in Normalenform ohne Kreuzprodukt?
Hallo, kann mir jem. helfen die Folgende Parameterform in die Normalenform umzuwandeln ohne das Kreuzprodukt anzuwenden?
PF.: x=(1/0/-4)+r(2/-4/3)+s(-1/-3/5)
Ich weiß, dass man zuerst die Parameter für n herausfinden muss, indem man die Richtungsvektoren mit der Variablen n multipliziert in ein Gleichungssystem packt aber wie löst man das bei zwei Gleichungen auf?
Vielen Dank im Voraus cecil13
2 Antworten
(2/-4/3)= v (Richtungsvektor 1)
(-1/-3/5)= t (Richtungsvektor 2)
Jetzt soll ja gelten: (Skalarprodukt)
v*n = 0 und t*n=0 mit n als Normalenvektor und der Gestalt;
n = ( n1/n2/n3)
Wir haben dadurch nun folgende Gleichungen:
2n1 -4n2 +3n3 = 0 und
-n1 - 3n2 + 5n3 = 0
Jetzt addieren wir die erste Gleichung mit 2 mal der zweiten Gleichung und erhalten:
-10n2 + 13n3 = 0 II +10n2
13n3 = 10n2 II *1/10
1,3n3 = n2
Dies setzen wir nun in eine der Gleichungen ein:
2n1 -4n2 +3n3 = 0 II 1,3n3 = n2
2n1 -5,2*n3 +3n3 = 0 II +2,2*n3
2n1 = 2,2*n3 II *1/2
n1 = 1,1*n3
Setzen wir also nun beides in die andere Gleichung ein:
-n1 - 3n2 + 5n3 = 0 II n1 = 1,1*n3 ; 1,3n3 = n2 ;
-1,1*n3 -3*(1,3n3) + 5n3 = -5n3 + 5n3 = 0
Und damit sind beide Gleichungen erfüllt.
Nun kannst du für n3 irgendeinen Wert einsetzen (ungleich 0), hier vorzugsweise n3 = 1, dadurch erhalten wir folgenden Normalenvektor:
n = ( 1,1 / 1,3 / 1) Da wir ungern mit "Kommazahlen" arbeiten wollen multiplizieren wir nun n noch mit 10 und wir erhalten:
10*n = n´ = ( 11 / 13 / 10)
Damit haben wir also unseren gesuchten Normalenvektor ermittelt.
Wir können das ganze an dieser Stelle auch noch mal gerne überprüfen:
1) v*n = 0 ---> (2/-4/3)*( 11 / 13 / 10) = 22 - 52 +30 = 0 ; diese Gleichung ist also erfüllt.
2) t*n=0 -----> (-1/-3/5)*( 11 / 13 / 10) = -11 - 39 +50 = 0 ; damit ist diese Gleichung auch erfüllt.
Daher ist ein möglicher Normalenvektor in diesem Falle:
n´ = ( 11 / 13 / 10)
① 2x - 4y + 3z = 0 ② - x - 3y + 5z = 0
2 ∙ ② = ③ - 2x - 6y + 10z = 0
① + ③ - 10y + 13z = 0 → y = 1,3z
einsetzen in ③ gibt x = 1,1z
Mit z = 10 ist n͐ (11 , 13 , 10)