Nullfolge ohne Maximum?
Hätte jemand ein Beispiel für eine Nullfolge ohne Maximum?
2 Antworten
Wenn deine Folge a(n) gegen 0 konvergiert und einen positiven Wert a(n) = p besitzt, dann sind nur endlich viele Werte a(n) über p (weil ab einem N gilt: n > N -> |a(n)| < p). Das Maximum max{a(n)} ist also max{a(n) | a(n) >= p}, die rechte Menge ist endlich, also existiert das Maximum.
Also müssen ALLE Folgenglieder unter 0 liegen. Ein Beispiel hierfür ist z.B. a(n) = -1/n und ähnliche Folgen, die monoton steigend gegen 0 konvergieren, aber nie 0 als Funktionswert haben.
Allgemein gilt (zum Merken, immer wieder nützlich!): Wenn eine Folge a(n) konvergiert und kein Maximum besitzt, sind alle Folgenglieder unter dem Grenzwert, wenn sie kein Minimum besitzt, sind alle Folgenglieder über dem Grenzwert. Wenn deine Folge gegen ein x konvergiert und du ein n hast, sodass a(n) >= x, dann besitzt a ein Maximum. Wenn deine Folge gegen x konvergiert und du ein n hast, sodass a(n) <= x, dann besitzt deine Folge ein Minimum. Der Beweis der Aussagen ist analog zu dem Absatz oben, der deine Frage behandelt hat. Setze b(n) = a(n) - x, das ist eine Nullfolge und damit kannst du weiter argumentieren.
LG
Kleines sehr witziges Korollar das mir noch eingefallen ist und auf den ersten Blick sogar ziemlich unintuitiv scheint: Konvergiert a(n) gegen x und es existiert ein n, sodass a(n) = x, dann besitzt a Minimum und Maximum!
Betrachte die durch a[n] = -1/n für n in den natürlichen Zahlen gegebene Folge. Diese Folge ist eine Nullfolge und das Supremum hat den Wert 0. Das Supremum ist jedoch kein Maximum, da es keine natürliche Zahl n mit -1/n = 0 gibt.