Nennerpolynom bestimmen aber wie?
Moin, wie genau bestimme ich das Nennerpolynom?
Die Aufgabe lautet
Bestimmen Sie das Nennerpolynom N(x) vom Grad 2 in f(x)= (x^3 - 7x +6) / N(x), sodass x0= -3 eine Nullstelle des Nennerpolynoms N(x) ist und die Asymtote = x-4 ist.
Mein Ansatz war, dass N(x)= (x+3) * (ax+b) ist aber ich weiß nicht, wie ich ax+b (wahrscheinlich durch die Asymptote) bestimmen soll.
Wie würdet ihr vorgehen und es berechnen? Die Lösung ist x^2 +4x +3.
MfG
1 Antwort
https://www.studimup.de/abitur/analysis/asymptoten/
Du mußt a und b so bestimmen dass
(x³ - 7x + 6) : (ax² +[3a + b]x + 3b) = x - 4 + R/(ax² +[3a + b]x + 3b)
Damit ist a schon mal offensichtlich 1 und die Gleichung vereinfacht sich zu
(x³ - 7x + 6) : (x² +[3 + b]x + 3b) = x - 4 + R/(x² +[3 + b]x + 3b)
Nun muß b so bestimmt werden, dass -(3 + b) = -4, also b = 1 (warum?).
Die Aufgabe erfordert tatsächlich ein wenig Knobeln, daher habe ich mich mal selbst am Rechnen versucht.
Probe zur Musterlösung: (x + 3)(x + 1) = x² + 4x + 3, stimmt also :-)
Sinnvoll wäre wenn du noch für dich selbst meine "warum?" Frage auflöst :-). Genauer, wie komme ich auf die Forderung -(3+b) = -4?
ganz sicher bin ich mir jetzt nicht, aber die Herleitung ist ja (x - 4 + R/(ax² +[3a + b]x + 3b) ) * (ax² +[3a + b]x + 3b) = (x³ - 7x + 6)
Dadurch dass wir 1*x bei der Asymptote haben, muss a = 1 sein. Also entsprechen die Koeffizienten des Nennerpolynoms die Koeffizienten der Asymptote.
Folglich hätte ich dann gesagt dass -4= 3+ b wäre . Die minus vor der Klammer kann ich nicht erklären, bzw. bräuchte ich da noch ein Tipp wieso es also stattdessen -(3+b)= -4 ist
Weißt du noch wie das mit der Polynomdivision funktioniert? Multipliziere mal
x² +[3 + b]x + 3b
mit x und ziehe das von
x³ - 7x + 6
ab. Was kommt dann raus?
Hinweis: Polynomdivision ist eine wichtige Grundlage für die Berechnung von Asymptoten.
Lass das x mal drinnen stehen und sortiere richtig, d.h. das x² nach vorne. Und dann dividiere das wieder durch x² +[3 + b]x + 3b
Super vielen Dank, das hat mir sehr geholfen