Negative Wurzeln multiplizieren?
Darf ich so rechnen:
Wurzel von -9 mal Wurzel von -4
Ich mache beide unter eine wurzel also:
Wurzel von -9 mal -4
Kriege wurzel von 36
Also gleich 6
Ist das richtig oder wie rechnet man die Aufgabe sonst?
5 Antworten
Nein! Es gibt zwei Möglichkeiten:
- Du kennst keine komplexen Zahlen oder sollst sie nicht verwenden. Dann ist Wurzel(-9) für dich einfach nicht definiert und es gibt nichts auszurechnen.
- Du kannst und darfst komplexe Zahlen verwenden. Aber in den komplexen Zahlen gilt das Wurzelgesetz, das du angewendet hast, nicht.
Hallo,
das darfst Du leider nicht machen, ansonsten könntest Du 'beweisen', daß -4=4 und -9=9, denn
Wurzel (-9)*Wurzel (-4)=Wurzel [(-4)*(-9)]=Wurzel (36)=Wurzel (4*9)=6.
Wenn Du in die komplexen Zahlen gingest, bei denen es möglich ist, Wurzeln aus negativen Zahlen zu ziehen, bekämst Du Wurzel (-9)=±3i und Wurzel (-4)=±2i.
Danach wäre zum Beispiel Wurzel (-9)*Wurzel (-4)=3i*2i=3*2*i*i=6*(-1)=-6.
Damit hättest Du auch noch die Identität von -6 und 6.
Du siehst: Dabei kommen nur verrückte Sachen heraus.
Merk Dir einfach: Unter einem Wurzelzeichen hat nichts etwas verloren, das kleiner als 0 ist. Außerdem ist als Wurzel einer positiven Zahl immer nur das positive Ergebnis, nicht das negative definiert.
Taucht unter einem Wurzelzeichen ein negativer Ausdruck auf: Finger weg!
Herzliche Grüße,
Willy
Im Bereich der komplexen Zahlen ist die Wurzel anders definiert als im Bereich der reellen Zahlen.
In den reellen Zahlen gilt als Wurzel einer positiven Zahl b nur diejenige positive Zahl a, deren Quadrat b ergibt.
Obwohl also auch (-2)²=4, gilt -2 nicht als Wurzel aus 4.
Bei den komplexen Zahlen sieht die Definition so aus:
Unter der n-ten Wurzel aus einer komplexen Zahl b versteht man die komplexe Zahl a, deren n-te Potenz b ergibt.
Hier zählen also tatsächlich alle Lösungen für a der Gleichung a^n=b unabhängig davon, ob a oder b ein negatives Vorzeichen haben oder nicht.
Es versteht sich von selbst, daß der Wurzelbegriff in den komplexen Zahlen im Gegensatz zu dem in den reellen Zahlen nicht eindeutig ist.
Danke, wusste, dass du eine kompetente Antwort hast. Mit komplexen Zahlen kenne ich mich nicht so aus.
Wegen dieser Uneindeutigkeit darfst Du natürlich nicht komplexe Wurzeln für entsprechende Beweise heranziehen nach dem Motto: Wenn -2i=Wurzel (-4) und 2i=Wurzel (-4), dann -2i=2i und damit nach Kürzen durch 2i: -1=1.
Wurzel aus -9 ist nicht (in IR) definiert.
Die Umformung ist nur für positiver Radikanden zulässig.
Sollte richtig sein.
Haben Sie schon einmal den Ausdruck "i" (komplexe Zahl) gesehen?
√-4 × √-9 = ?
Zuerst können wir die Quadratwurzel von -4 als 2 × 2 × -1 und die Quadratwurzel von -9 als 3 × 3 × -1 schreiben
Zweitens ersetzen wir -1 durch i und erhalten 2i × 3i = 6 (i) ²
Da i = √-1 und i² = -1
Wir haben dann 6 × -1 = -6
Daher ist √-4 × √-9 = -6
Wurzel (-4) ist aber auch -2i. Welches nimmst Du denn nun? 2i oder -2i?
Auch der Ausflug in die komplexen Zahlen macht das Ding nicht zu einer Äquivalenzumformung.
Hier gab es ja schon häufiger die Diskussion, ob z.B. -2 eine Quadratwurzel aus 4 ist (was ja nicht der Fall ist, da Quadratwurzeln grundsätzlich positiv sind) Wie ist das bei komplexen Zahlen, gibt es da zwei Wurzeln?