Mittlere Änderungsrate ; Intervalle?

Hallo!!

Ich habe hier die Funktion:

f(x)= 0,575x^3

Und ich kenne eine mittlere Änderungsrate:

m= 25

Ich soll jetzt zwei Intervalle bestimmen, in denen diese mittlere Änderungsrate gilt.

Kann mir bitte jemand erklären, wie man dies machen kann!!

Danke!!!

Answer 1

[Quotenbanane]

Das kann man z.B. so machen...

Formel für mittlere Änderungsrate hernehmen & einen Punkt fest wählen, z.B. x = 0

$m\ =\ \frac{f\left(y\right)-f\left(x\right)}{y-x}$

$\Rightarrow\ 25=\frac{\left(f\left(y\right)-f\left(0\right)\right)}{y-0}\Rightarrow\ 25\ =\ \frac{f\left(y\right)}{y}$

$\Rightarrow\ 25=\frac{0.575\cdot y^3}{y}=0.575\cdot y^2\ \Rightarrow\ y\ =\ \sqrt{\frac{25}{0.575}}$

Im Intervall [0, sqrt(25/(0.575))] beträgt die mittlere Änderungsrate 25.

Probe:

$m\ =\ \frac{f\left(\sqrt{\frac{25}{0.575}}\right)-f\left(0\right)}{\sqrt{\frac{25}{0.575}}-0}=25$

Damit hast du schon mal ein Intervall. Probier' das zweite selbst. Es ist normal, dass keine "schönen Zahlen" herauskommen.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Mathematik-Studium

Comments

[Sebopeng]

Danke!!!!

Ich habe es nämlich auch mit der Gleichstellung probiert bin aber nicht weitergekommen. Jetzt verstehe ich. Schönen Tag noch.

[Sebopeng]

Ich habe es gerade für x=3 und f(x)=15.5 probiert. Bei mir kommt man am Ende aber nicht auf 25. Kannst du mal bitte vorrechnen. Ich muss mich irgendwo verrechnet haben.

Danke!!!

[Quotenbanane]

@Sebopeng

Wär's OK, wenn ich's dir am Abend vorrechne? Zurzeit hab ich viel zu tun

Answer 2

[Quotenbanane]

Für x=3 und f(x)=15.5....

$m\ =\ \frac{f\left(y\right)-f\left(x\right)}{y-x}$

$\Rightarrow\ 25\ =\ \frac{f\left(y\right)-f\left(3\right)}{y-3}=\frac{0.575\cdot y^3-15.525}{y-3}$

$\Rightarrow\ 25\ \cdot\left(y-3\right)=0.575\cdot y^3-15.525$

$\Rightarrow\ 25y-75=\ 0.575\cdot y^3-15.525$

$\Rightarrow\ 0.575\cdot y^3-25y-15.525+75=\ 0$

Weil wir mit x = 3 bereits eine Lösung dieser Gleichung kennen, fällt es leicht, das aufzuspalten...

$\Rightarrow\ \frac{1}{40}\cdot\left(y-3\right)\cdot\left(23y^2+69y-793\right)=0$

So und jetzt brauchst du nur noch den Produktnullsatz.

Die Lösungen sind...

$y\ _1=\ 3\ \vee\ y_2=\frac{1}{46}\left(-69-\sqrt{77717}\right)\ \vee\ y_3\ =\ \frac{1}{46}\left(\sqrt{77717}-69\right)$

Also wähle ich zum Beispiel das Intervall...

$I=\left[3,\ \frac{1}{46}\left(\sqrt{77717}-69\right)\right]$

Jetzt mache ich die Probe...

$m\ =\ \frac{f\left(\frac{1}{46}\left(\sqrt{77717}-69\right)\right)-f\left(3\right)}{\frac{1}{46}\left(\sqrt{77717}-69\right)-3}=25$

Passt also.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Mathematik-Studium

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[Sebopeng]

Ach so geht das. Danke!! Kein Problem übrigens, dass du erst jetzt antwortest. Ich bin einfach froh, dass sie mir helfen:). Bin ihnen wirklich sehr dankbar, dass sie sich die Zeit nehmen. Schönen Abend noch!

Answer 3

[Tannibi]

Die Funktion ist punktsymmetrisch ohne Extrema.

Ableiten:

1,725*x² = 25

Bei +-3,81 ist die Steigung 25.

Du brauchst jetzt ein kleines Intervall mit
dem Mittelpunkt +3,81 bzw. -3,81.

Wenn die Änderung der Steigung gemeint ist,
musst du nochmal ableiten.

Comments

[Sebopeng]

Geht das auch ohne Ableitung? Das hatten wir nämlich nohc nicht.

[Tannibi]

@Sebopeng

Nur durch Ausprobieren.

[Quotenbanane]

Dieses Intervall wird dann eigentlich nie genau 25 sein.

[Tannibi]

@Quotenbanane

Natürlich nicht.

[Quotenbanane]

@Tannibi

Dann ist die Antwort falsch.

[Tannibi]

@Quotenbanane

Er kann natürlich einen Punkt mit Steigung
26 und einen mit 24 nehmen, oder einen
mit 0 und einen mit 50. Ich bin aber ziemlich sicher,
dass das nicht gemeint ist, wenn sie nicht mal
Ableitungeen hatten. Außerdem wäre das
genaugenommen immer noch nicht ganz richtig.

[Quotenbanane]

@Tannibi

Ja, dein Vorschlag ist für die Fragestellung ungeeignet.

Answer 4

[MitFrage]

Ist mit mittlerer Änderungsrate die mittlere Steigung gemeint?

Ich würde ein allgemeines Intervall [a,b] hernehmen und dann a und b so wählen, dass die mittlere Änderungsrate eben 25 ist. Wie wird die mittlere Änderungsrate auf [a,b] berechnet? Das würde ich mit 25 gleichsetzen und umformen.

Comments

[Sebopeng]

Genau, aber wie würdest du das denn umformen?