Mittlere und Momentane Änderungsrate
Ist die Aussage richtig, wenn man sagt, dass man die Mittlere Änderungsrate also z.B. die Durchschnittsgeschwindigkeit eines Autos mir der Formel für den Differenzquoitienten berechnet? Also dann m = f(X) - f(Xo) / X - Xo bzw. m = f(Xo + h) - f (Xo) / h
Und ist es richtig, dass man die Momentane Änderungsrate, also die Geschwindigkeit des Autos zu einem bestimmten Zeitpunkt, berechnet, indem man f(X) - f(Xo) / X - Xo rechnet? Oder muss man da die Ableitung bestimmen?
4 Antworten
Also zum ersten: Ja das stimmt. Die mittlere Änderungsrate lässt sich mit dem Differenzenquotienten berechnen. Aber es geht auch noch einfacher: (Y2-Y1)/(X2-X1) Und bei dem zweiten würde ich persönliches das mit dem Grenzwert sprich Limes machen.
Die Aussage über der mittlere Änderungsrate ist richtig.
Allerdings musst der Differenzenquotient (hier) mit Klammern geschrieben wrden, die Zähler und Nenner zusammenhalten, weil sonst eine falsche Aussage entsteht.
Die momentane Änderungsrate ist der Grenzwert des Differenzenquotienten
für X → Xo, wenn du ihn ( f(X) - f(Xo) ) /( X - Xo ) schreibst, oder auch
für h → 0, wenn du ihn ( f(Xo + h) - f (Xo) ) / h schreibst.
Dieser Grenzwert des Differenzenquotienten heißt Differenzialquotient und ist der Wert der Ableitung an der Stelle X =Xo.
Ableitungen bestehen (werteweise) aus lauter Differenzialquotienten. Das ist also keine Alternative.
1) korrekt bei 2) nimmt man 1. Ableitung f ' also den Grenzwert des Differenzenquotienten.
Beispiel für den Differenzialquotienten:
Ein Stein fällt von einem 500m Hohen Turm. Seine Höhe beträgt nach t Sekunden freiem Fall:
y = 500 - 9,81 t² (Höhe in Metern).
Wie schnell ist der Stein nach genau 3 Sekunden Fall?
A. Rechnung mit Differnzialquotient:
Die Momentangeschwindkeit nach drei Sekunden Fall ist für h → 0
lim (500 - 9,81 (3 +h)² ) - (500 - 9,81 * 3²) ) / h =
lim (500 - 9,81 (9 +6h + h² ) - 500 +9,81 * 3²) ) / h =
lim (- 9,81 (3³ +6h + h² ) +9,81 * 3²) ) / h =
lim (- 9,81 * 3² - 9,81 * 6h - 9,81 * h² ) +9,81 * 3²) ) / h =
lim (- 9,81 * 6h - 9,81 * h² ) / h =
lim - 9,81 * 6 - 9,81 * h =
-9,81 * 6 = - 58,86 m/s
Das Vorzeichen der Momentangeschwindigket ist negativ, weil der Stein von oben nach unten fliegt (Höhenabnahme)
B. Rechnung mit Ableitung (mit gewussten Ableitungsregeln):
y' = - 9,81 * 2t
Für t = 3 ergibt das:
-9,81 * 2 * 3 = - 9,81 * 6 = - 58,86 m/s
C. Die Ableitung besteht aus Differenzialquotienten:
Die Momentangeschwindkeit nach t Sekunden Fall ist für h → 0
lim (500 - 9,81 (t +h)² ) - (500 - 9,81 * t³) ) / h =
lim (500 - 9,81 (t² +2th + h² ) - 500 +9,81 * t³) ) / h =
lim (- 9,81 (t² +2th + h²) +9,81 * t³) ) / h =
lim (- 9,81 * t² - 9,81 * 2th - 9,81 * h² ) +9,81 * t²) ) / h =
lim (- 9,81 * 2th - 9,81 * h² ) / h =
lim - 9,81 * 2t - 9,81 * h =
-9,81 * 2t