Mittelpunkt berechnen
Wie berechne/ermittle ich den Mittelpunkt einer "unförmigen" Fläche? Beispiel: Mittelpunkt einer Stadt, eines Landkreises oder eines Staates?
9 Antworten
Formeln, Berechnungs-Code und praktische Beispiele unter
Bei Wikipedia ist zum Thema Schwerpunkt / Flächenmittelpunkt leider nicht viel zu finden. Aber gerade bei den Integralen wird es interessant, wenn man die "nicht abgekürzte Schreibweise" verwendet. Für Flächen mit einfachen Funktionsdarstellungen gibt es sogar Videos: suche "Schwerpunkt eines Flächenstücks mittels Integral" .
Da es bei Städten nicht möglich ist, eine Formel für die Umrandung zu finden, greift man zur numerischen Integration. Je nach Genauigkeitsanforderung werden Untersummen gebildet. z.B. http://diglib.ethz.ch/system/temporary/get_gdi.ind25.de.htm
In der Praxis nutzt man Computerprogramme. Hier ein einfaches Beispiel: Erst wird eine Fläche gezeichnet (und ausgemalt), die berechnet werden soll. Mit getpixel(x,y) wird ermittelt, ob Punkt innerhalb (ausgemalt also > 0) liegt:
for x:=0 to getmaxY do
for y:=0 to getmaxY do if getpixel(x,y)>0 then begin
ma:=ma+1;mx:=mx+x;my:=my+y;
end;
xs:=trunc(mx/ma);ys:=trunc(my/ma);
mit den Koordinaten xs und ys kann man Hilfslinien für die Mittelpunktanzeige darstellen.
ha ! ich hab sogar hier auf GF jemanden gefunden der mein Prinzip verwendet :
vom user "arrgh" ( es ging um das Problem mit einem unregelmäßigen 7-Eck ), durchgelesen hab ich mir das Ganze jetzt aber nicht ...
Das geht schon, kann jedoch relativ aufwändig werden. Ich würde prinzpiell so vorgehen: Zeichen dein Vieleck zuerst in ein Koordinatensystem, sodass du für jede Spitze einen x- und einen y-Wert hast. Dann zerlege dein Vieleck in Dreiecke (Falls es zufälligerweise passt, kannst du natürlich zusätzlich Quadrate oder Rechtecke verwenden, aber mit Dreiecken geht das in jedem Fall). Am besten gehst du dabei so vor, dass du dich von außen nach innen durcharbeitest. Dann rechnest du von jedem Dreieck die Fläche sowie die Koordinaten des Schwerpunktes aus (das ist das aufwändigste, Vorgehensweise beschreib ich weiter unten). Dann musst du nur noch das Mittel der Dreiecksschwerpunkte bilden, wobei du diese mit den Flächen gewichtest.
Berechnung der Dreiecksflächen: Die Fläche eines Dreiecks ist ja 1/2 mal Grundseite mal Höhe. Wir haben aber von den Dreiecken nur die Koordinaten der Eckpunkte (also (x1|y1), (x2|y2) und (x3|y3) )und müssen damit alles berechnen. Die Formel dazu lautet: A=1/2* (x1* (y2-y3) +x2* (y3-y1) +x3* (y1-y2)) Die Herleiung kannst du dir auf http://de.wikipedia.org/wiki/Dreiecksfl%C3%A4che anschauen. Dabei können negative Flächen auftreten, das macht nichts, dann muss man einfach den Betrag davon nehmen (also einfach das Minus weglassen).
Berechnung der Dreiecksschwerpunkte: Das geht relativ leicht: Es gilt einfach für den x-Wert xs und den y-Wert ys des Flächenschwerpunktes: xs=1/3* (x1+x2+x3) ys=1/3* (y1+y2+y3) Die Herleitung davon macht man am Besten mit Vektoren. Falls dich das interessiert (und du weißt, was Vektoren sind) kann ich dir das auf Wunsch noch erläutern.
Berechnung des Vieleck-Schwerpunktes. Dazu bilde man einen gewichteten Mittelwert. Stell dir das so vor, dass du alle Dreiecke wie ein Mobile aufhängst, dann zeiht es jeweils entsprechend seiner Fläche. Damit gilt mit den Dreiecksflächen A1, A2, A3,... und den dazugehörigen x-Werten der Dreiecksschwerpunkte xs1, xs2, xs3,... für den x-Wert des Vieleckschwerpunktes xsV: xsV=(A1* xs1+ A2* xs2+ A3* xs3+ ...)/(A1+A2+A3+...) Der y-Wert des Flächenschwerpunktes wird genauso berechnet, bloß halt mit den y-Werten.
Wenn dein Vieleck nicht völlig allgemein ist sondern noch ein paar Besonderheiten hat kann es natülich sein, das man nicht alles in Dreiecke zerlegen muss, oder es von Anfang an eine leichtere Methode gibt. Die Dreieckmethode funktioniert halt bei jedem Objekt, das durch gerade Linien begrenzt ist, das macht es eben sehr flexibel, auch wenn es bei vielen Ecken (und damit vielen Dreiecken) ziemlich aufwändig werden kann.
Da die Funktion des Randes bezüglich des "Mittelpunktes" nicht sinnvoll angegeben werden kann, behilft man sich einer gedanklichen Konstruktion. Man "schneidet" die Fläche auf und stellt sie auf eine Nadel. Dort, wo sie nicht kippt, dort ist der Mittelpunkt. Mittels Integralrechnung könnte man bei Vorliegen einer Funktion analytisch vorgehen.
form ausschneiden
an verschiedenen stellen ( hintereinander ) aufhängen und von der aufhängestelle aus eine schnur runterhängenlassen. wo sich die ( hintereinander abgezeichneten ) schnurlinien kreuzen ist der mittelpunkt bzw. schwerpunkt
leider kenne ich keine methode zur berechnung .. aber ich suche Dir eine, warte ...
was wäre, wenn Du die Fläche in viele Dreiecke teilst und die Schwerpunkte dieser Dreicke dann mittelst ? Ist das mathematisch genug ?
Den Gedanken hatte ich auch schon. Landkarte ausschneiden und auf eine Nadelspitze stellen. Wenn alles wagerecht bleibt muß es die Mitte sein. Aber gibt es wirklich keine Möglichkeit dies mathematisch zu errechnen?
MfG