Mischrechnungen?

Hallo! Kann mir jemand mit diesen Mischtemperaturrechen-Aufgaben helfen bitte?

Aufgabe 1

An einer Kaffeemaschine wird mit dem Dampfhahn 1dl Milch aus dem Kühlschrank für einen Cappuccino auf 60°C erhitzt. Der Wasserdampf hat beim Austritt aus der Düse eine Temperatur von 110°C. Mit wieviel Wasser wird die Milch verdünnt?

Aufgabe 2

Sie mischen 1kg Eis (0°C) mit 1kg Wasser (0°C) und mit 1kg Wasserdampf (100°C). Welche Mischtemperatur stellt sich ein?

Comments

[indiachinacook]

Schreib doch die Zahlenwerte für die Wärmekapazitäten (Wasser, Wasserdampf) und Schmelz- bzw. Verdampfungswärmen dazu.

[Anjalu2]

Wurde in der Aufgabe nicht angegeben... aber es wären:

Eis: c = 2100 J/(g*K)

Wasser: c = 4182 J/(g*K)

Wasserdampf: c = 1863 J/(g*K)

(Spez. Schmelzwärme von Eis: Lf = 3.338 * 10^5 J/kg)

Answer 1

[indiachinacook]

Deine Wärmekapazitätsangaben können nicht stimmen — sie scheinen um den Fak­tor 1000 falsch zu sein, also z.B. für Eis 2100 J kg¯¹ K¯¹ bzw. 2.1 J g¯¹ K¯¹.

Aufgabe 1 ist einfach: Ein Gramm Wasserdampf von 110 °C liefert beim Abkühlen auf 100 °C eine Wärme ΔQ=cmΔT=18.63 J, beim Kondensieren zu flüssigem Wasser der­selben Temperatur [fuсk, warum muß ich das erst wieder googeln?] 2.26 kJ und beim weiteren Abkühlen auf 60 °C ΔQ=cmΔT=167 J, insgesamt also 2.45 kJ.

Wir wollen damit 100 ml Milch aus dem Kühlschrank (¿4 °C?) auf 60 °C erhitzen, also um 56 K, dazu brauchen wir ΔQ=mcΔT=23.4 kJ. Dabei habe ich für die Milch ange­nom­­men, daß sie sich wie Wasser verhält, also ρ=1 g/ml und c=4.182 J g¯¹ K¯¹. Bessere Zahlen stehen ja nicht da.

Da 1 g Wasserdampf 2.45 kJ liefert und wir 23.4 kJ Energie brauchen, ist die nötige Menge an Wasserdampf also 9.6 g, wir bekommen folglich aus den 100 ml Milch 4 °C nach Behandlung mit Wasserdampf ≈110 ml Milch von 60 °C, die Milch wird also mit ca. 10% Wasser verdünnt.

Bei der zweiten Aufgabe ist es haariger. Wir wollen gleiche Massen an Eis, Wasser (bei­des 0 °C) und Wasserdampf (100 °C) mischen. Das kann man verschieden ma­chen, und ich schlage folgende Prozedur vor: Wir suchen uns eine willkürliche Tem­pe­ratur im Flüssigkeitsbereich des Wassers aus und überlegen uns, mit wieviel Energie­aufwand wir jede der drei Komponenten in diesen Zustand bringen können, rechnen den Gesamtenergieumsatz aus und überlegen uns dann, wie es weitergeht. Das kann man immer machen, weil die Energie eine Zustandsfunktion ist und der Energieum­satz daher nicht vom Reaktionsweg abhängt.

Ich wähle jetzt einfach null Grad für diese Temperatur

• Um das Eis zu verflüssigen, brauchen wir die Schmelzwärme, also 334 kJ.
• Das Wasser hat bereits diese Temperatur, also gibt es keinen Energieumsatz.
• Der Wasserdampf liefert beim Kondensieren 2260 kJ, und bei weiteren Abkühlen auf 0 °C ΔQ=cmΔT=418.2 kJ., insgesamt 2678 kJ.
• Also bleiben uns nach alledem 2344 kJ übrig, die die 3 Liter Wasser (0 °C) auf­neh­men müssen. Um das Zeug auf 100 °C zu erhitzen, brauchen wir 1255 kJ.
• Jetzt haben wir also 3 l Wasser von 100 °C und immer noch 1090 kJ übrig. Mit denen kann man 0.48 kg Wasser verdampfen.

Und damit sollten wir die Lösung haben: Beim Mischen von je 1 kg Eis, Wasser (0 °C) und Wasserdampf (100 °C) bekommt man eine Temperatur von 100 °C heraus, und vom Wasser liegen 0.48 kg als Dampf und 2.52 kg als flüssiges Wasser vor.

Das klingt auf den ersten Blick kontraintuitiv, denn warum sollte die Mischungs­tem­pe­ra­tur genau gleich hoch sein wie die Temperatur der heißesten Komponente? Die Ant­wort liegt natürlich in der irre hohen Verdampfungswärme von Wasser: Die Kon­den­sa­tion von 0.52 kg Wasserdampf (ohne Temperaturänderung!) liefert so viel En­er­gie, daß man damit das Eis schmelzen und sein Schmelzwasser zusammen mit dem wei­te­ren Kilo Wasser auf 100 °C erwärmen kann. Daher brauchen die restlichen 0.48 kg Wasserdampf gar nicht zu kondensieren sondern bleiben Dampf.

Tatsächlich bin ich von diesem Resultat nicht überrascht, weil ich vor langen Jahren schon einmal etwas Vergleichbares gerechnet und auch etwas Vergleichbares her­aus­bekommen habe.

(Ich glaube nicht, daß ich mich ernsthaft vergaloppiert habe, aber Rechen- oder Flüch­­tig­keitsfehler können leicht enthalten sein. Während des Lösens dieser Aufgabe wa­ren 80% meines Gehirn damit beschäftigt, die Katze davon abzuhalten, über die Ta­s­ta­tur zu laufen, und das Rechnen mußte mit dem Rest vorlieb nehmen. Im Zweifels­fall hat die 🐱🐱🐱 immer Priorität )

Answer 2

[Hamburger02]

1) Kondensieren des Dampfes:

Q = q * m = 2260 kJ/kg * 1 kg = 2260 kJ

2) Damit wird das Wasser erwärmt:

Q = c * m * ΔT
ΔT = Q / c * m = 2260 kJ / (4,19 kJ/kgK * 1 kg) = 539 K

...aha, also wird das Wasser auf 100 °C erwärmt, ohne dass allerdings der ganze Dampf dabei kondensiert.

Neuer Ansatz. Wir berechnen, wieviel Energie erforderlich ist, um das Wasser auf 100 °C zu erwärmen:
Q = c * m * ΔT = 4,19 kJ/kgK * 1 kg * 100 K = 419 kJ

Bleiben also noch Energie des Dampfes übrig von
E = 2260 kJ - 419 kJ = 1841 kJ

3) Nun berechnen wir die Energie zum Schmelzen des Eises:

Q = q * m = 335 kJ/kg * 1 kg = 335 kJ

Bleiben also an Dampfenergie übrig:
E = 1841 kJ - 335 kJ = 1506 kJ

An dieser Stelle kann man aufhören zu rechnen. Um das Eiswasser auf 100 °C zu erwärmen, braucht man 419 kJ, hat aber noch viel mehr Energie im Dampf zur Verfügung.

Also wird gar nicht aller Dampf kondensieren und wir haben ein Gemisch aus Wasser und Dampf beo 100 °C vorliegen.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Habe Thermodynamik im Hauptfach studiert.