Maxwellverteilung praktische Bedeutung?

Da gibt es diese 2 Funktionen bzgl. Wahrscheinlichkeitsverteilungen von Teilchen

Ich wollte Fragen, was ist die praktische Bedeutung dieser Formeln.

Okay, die obere ist die normale Gauß-Wahrscheinlichkeitsverteilung, oder? Aber da gibt es noch eine andere Basic-Gaußverteilung, die wir früher gelernt haben, und zwar N*e^-((x-x0)^2/2sigma^2). Wieso ist die Funktion anders, ich dachte, Gauß Verteilungen sind immer gleich?

Und bei der begreife ich nicht, wieso benutzt man hier den Betrag der Geschwindigkeit? Ich dachte, es war beim oberen auch der Betrag und kein Vektor? Und was bedeutet die Untere im praktischen Sinne, im Gegensatz zur Oberen?

Answer 1

[DrNumerus]

Das sind zwei verschiedene Verteilungen.

Dein erster Fall behandelt die Verteilung der Geschwindigkeitsrichtung (mit Betrag der Geschwindigkeit). Die Teilchen in Gase schwirren zufällig herum. Alle Teilchen haben im Allgemeinen eine unterschiedliche Geschwindigkeit, welche keine Raumrichtung bevorzugt. D.h. alle Bewegungsrichtungen sind gleich wahrscheinlich. Deswegen wird für diese Verteilung eine (symmetrische) Gaußverteilung genommen. Diese kann man dann in die einzelnen Komponenten der Geschwindigkeiten aufteilen, weil die Aussage dabei gleich bleibt. Hier wird aber auf die vektorielle Form der Geschwindigkeit eingegangen, nicht auf dessen Betrag.

Der zweite Fall ist die Maxwell-Boltzmann Verteilung. Diese gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass du ein Teilchen mit der Geschwindigkeit v (im Betrag) vorfindest, letztendlich also auch die relative Häufigkeit von solchen Teilchen. Diese ist im Allgemeinen nicht symmetrisch. Man sieht hier beispielsweise, dass es mehr Teilchen gibt, die langsamer sind, als dass es schnelle Teilchen gibt.

Deine Frage bzgl. der Gaußverteilung ist recht einfach. Die Form die du genannt hast stimmt natürlich. Jetzt musst du die Terme nur noch zuordnen. Beim Vergleichen stellt man fest:

$\sqrt{\frac{m}{2\pi kT}}e^{-\frac{mv^2}{2kT}}=N\cdot e^{-\frac{\left(x-x_0\right)^2}{2\sigma^2}}$

Also muss folgendes Gelten:

$N=\sqrt{\frac{m}{2\pi kT}}$

$\sigma^2=\frac{kT}{m}\ \ \ \ \Rightarrow\ \ \ \ \ N=\sqrt{\frac{1}{2\pi\sigma^2}}$

$x=v,\ \ \ x_0=0$

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Physik Studium