Mathematik Extremwertaufgabe?
Hallo, ich verzweifle leider an einer Mathe Aufgabe.
Es geht um eine Extremwertaufgabe. Ich weiß nicht was ich ins Verhältnis setzen soll und wieso?
Bitte um Hilfe beim rechnen!
4 Antworten
(1) A_Rechteck = a * b → Maximum
mit a = Grundseite Rechteck und b = Höhe Rechteck
Nebenbedingung mittels Strahlensatz:
(2) 2 - (a / 2) / b = (a / 2) / (3 - b)
a = 4 - (4 / 3) * b
in (1) eingesetzt:
A_Rechteck = (4 - (4 / 3) * b) * b
ableiten und gleich Null setzen führt zu:
b = 3 / 2
eingesetzt in die Nebenbedingung:
a = 2
A_Rechteck = 2 * (3 / 2) = 3
A_Dreieck = (1 / 2) * 4 * 3 = 6
A_Dreieck / A_Rechteck = 2 / 1
Stelle die Formel für den Flächeninhalt auf und bestimme das Maximum. U.U. wird es leichter wenn du das ganze nur für das halbe Dreieck machst da es dann rechtwinklig ist, aber die Aufgabe ist mir jetzt auch zu fummelig für mal eben nebenbei.
PS: Das ist jetzt sicher als Aufgabe nicht einzigartig, da kann man sicher ein paar Beispielherleitungen mit Google finden... https://www.google.com/search?q=dreieck+eingeschriebenes+rechteck
Hallo,
aus Symmetriegründen reicht es, nur die Hälfte des Dreiecks rechts von der y-Achse zu betrachten.
Die rechte Seite des Dreiecks liegt auf der Geraden y=-(3/2)x+3.
Fläche des halben Rechtecks: x*(-(3/2)x+3)=-(3/2)x²+3x.
Ableiten der Flächenformel:
y'=-3x+3.
Maximum ist da, wo die Ableitung Null wird, also bei x=1.
Höhe des halben Rechtecks ist folglich -(3/2)*1+3=3/2 und Fläche ist 1*3/2=3/2, somit Fläche des ganzen Rechtecks 3 FE.
Fläche des halben Dreiecks ist halbe Grundseite mal Höhe, also 1*3=3 FE, somit die des ganzen 6 FE.
3 verhält sich zu 6 wie 1 zu 2, folglich nimmt das maximale Rechteck die Hälfte der Dreiecksfläche ein.
Herzliche Grüße,
Willy
Flächeninhalt (Dreieck) = FD = 6 cm^2
Grundseite(Rechteck) sei a ! => Rechteckhöhe = b
Strahlensatz => b / (2 cm - 0,5a) = 3/2 = 1,5 . => b = 1,5 * (2 cm - 0,5a)
Flächeninhalt(Rechteck) = FR = a * b = a * 1,5 * (2 cm - 0,5a) = 1,5 *( 2cm *a - 0,5a^2)
dFR/ da = 1,5 *( 2cm - a) = 0 ; => a = 2 cm ; => b = 1,5 cm ; FR = 3 cm^2 ;
FR / FD ) 6 / 3 = 2 :