Mathematik aufgabe koffeingehalt eistee?
Hey
Ich hab echt die ganze zeit rumüberlegt aber leider kam ich echt nicht weiter... also folgende aufgabe: Eistee kann koffeingehalte von bis zu 50mg pro glas besitzen. Bei einem Jugendlichen setzt die Wirkung nach einer Stunde ein. Sie nimmt dann mit einer halbwärtszeit von 3 Stunden ab.
A) wie lautet die gleichung der abnahmefunktion k? B)die anregende wirkung bleibt erhalten, solange noch 10mg koffein im körper sind Wie lange ist das der fall? C)wie lange dauert der anregende effekt, wenn die person nach 4 stunden ein weiteres glas eistee zu sich nimmt?
Mein ansatz war F(x)= c * a^x Da bei jugendlich erst nach 1h f(x)= c * a^x-1 Und c ist ja der anfangswert und das sind ja 50 Aber kaa wie das weitergehen soll ?
Danke für antworten❤️
3 Antworten
Da die Wirkung erst nach einer Stunde einsetzt, nimmt auch erst von diesem Zeitpunkt an die Wirkung ab. Dieser Zeitpunkt ist der Nullpunkt für die Funktion F(x) = c*a^x.
Die Halbwertszeit beträgt 3 Stunden, also ist F(x) bei x = 3 auf den halben Anfangswert gefallen. Der Anfangswert ist F(0) = c*a^0 = c. somit gilt:
F(3) = c*a^3 = (1/2)*F(0) = (1/2)*c.
Daraus erhält man a^3 = 0,5 und daraus a = 0,5^(1/3) = 0,7937.
A) Somit lautet die Abnahmefunktion: k(x) = c*0,7937^x.
B) Wenn am Anfang (x=0) 50mg Koffein im Körper waren und nach der gesuchten Zeit x noch 10mg im Körper sein sollen, dann gilt:
k(x) = (50mg)*0,7937^x = 10mg
0,7937^x = 1/5 = 0,2
x*lg(0,7937) = lg(0,2)
x = lg(0,2)/lg(0,7937) = (-0,699)/( -0,100) = 6,966
Es sind also nach rund 7 Stunden noch 10mg Koffein im Körper
C) Das zweite Glas wird 4 Stunden nach dem ersten Glas getrunken, seine Wirkung setzt 1 Stunde später ein. Da unser gewählter Zeitpunkt 0 eine Stunde nach dem ersten Glas liegt, setzt die Wirkung des zweiten Glases 4 Stunden nach unserem Zeitpunkt 0 ein. Zu diesem Zeitpunkt addiert sich der Rest-Koffeingehalt vom ersten Glas k(4) = (50mg)*0,7937^(4) = (50mg)*0,3968 = 19,843mg zum neuen (maximalen) Koffeingehalt von 50mg des zweiten Glases und ergibt den neuen Startwert (50 + 19,843)mg = 69,843mg.
Die neue Abnahmefunktion lautet damit k(x) = (69,843mg)*0,7937^(x-4).
Statt x steht jetzt x-4, weil der neue Ablauf bei erst x=4 (nach 4 Stunden) beginnt.
Wann ist nun der neue Koffeingehalt wieder auf 10mg abgesunken? Die Lösung liefert die Gleichung
k(x) = (69,843mg)*0,7937^(x-4) = 10mg
0,7937^(x-4) = 10mg/69,834mg = 0,1432
(x-4)*lg(0,7937) = lg(0,1432)
x = 4 + lg(0,1432)/lg(0,7937)
x = 4 + (-0,8441)/(-0,100) = 4 + 8,8107 = 12,8
Die Wirkung dauert also bis fast 13 Stunden nach unserem Zeitpunkt 0 bzw. bis fast 14 Stunden nach dem Trinken des ersten Glases an.
Aus ca³ = 0,5c folgt a³ = 0,5. (Rechts und links durch c geteilt). Dann zieht man rechts und links die 3. Wurzel: und erhält: a = 0,5^(1/3) (a ist die dritte Wurzel aus 0,5) und ausgerechnet a = 0,7937.
Zum Ausrechnen gibt man bei meinem Rechner (hp 15C) 0.5 ein, drückt die Entertaste, gibt dann 0.33333333 ein und drückt die Taste y hoch x (y^x). Bei anderen Rechnern kann es etwas anders sein, auf jeden Fall muss man 0,5 hoch 1/3 berechnen, das ist die 3. Wurzel aus 0,5.
Probe: 0,7937*0,7937*0,7937 = 0,5.
Zitat :
Bei einem Jugendlichen setzt die Wirkung nach einer Stunde ein. Sie nimmt (erst) dann !!! mit einer Halbwertszeit von 3 Stunden ab.
Das Wort erst hat in dem Satz gefehlt, um den eindeutiger zu machen.
Zu deiner Aufgabe kann man eine Wertetabelle aufstellen :
t | f(t)
0 | 50
1 | 50
4 | 25
7 | 12.5
10 | 6.25
und so weiter.
a.)
Solange 0 <= t < 1 ist, solange gilt f(t) = 50
Wenn t >= 1 ist, dann gilt ab dann f(t) = 50 * 0.5 ^ ((t - 1) / 3)
Das ist so, weil der Körper erst dann mit dem Abbau des Koffeins im Körper
beginnt, wenn 1 Stunde verstrichen ist. (Jedenfalls laut deiner Aufgabe,
wie viel das mit der Realität zu tun hat, das ist allerdings eine
andere Frage.)
Nach t = 4 ist also die Hälfte des Koffeins im Körper abgebaut.
b.)
10 = 50 * 0.5 ^ ((t - 1) / 3)
0.2 = 0.5 ^ ((t - 1) / 3)
ln(0.2) / ln(0.5) = (t - 1) / 3
t = 3 * ln(0.2) / ln(0.5) + 1
t = 7.965784284662086 Stunden
0.965784284662086 * 60 Minuten = 58 Minuten
7 Stunden und 58 Minuten
Zirka 8 Stunden nach dem trinken des Glases nimmt die Koffeinmenge im Körper auf 10 mg ab.
c.)
Daran denken, dass die Wirkung des zweiten Glases ebenfalls ! nicht sofort einsetzt, sondern erst nach 1 Stunde, also erst 5 Stunden nach dem das erste Glas Eistee getrunken wurde !!
Die Funktion dazu lautet dann :
f(t) = 50 * 0.5 ^ ((t - 1) / 3) + 50 * 0.5 ^ ((t - 5) / 3)
Die Funktion macht erst für t >= 5 Sinn !, weil es vorher keine Wirkung
des Koffeins aus dem zweiten Glases Eistee gibt und weil man vor der
vierten Stunde kein zweites Glas getrunken hatte, ab t >= 5 gibt die
Funktion jedoch ganz genau den Sachverhalt wieder.
Substitution :
z = (t - 1) / 3 daraus folgt t = 3 * z + 1
(t - 5) / 3 = z - 4 / 310 = 50 * 0.5 ^ (z) + 50 * 0.5 ^ (z - 4 / 3)
0.2 = 0.5 ^ (z) + 0.5 ^ (z - 4 / 3)
0.2 = 0.5 ^ z + 0.5 ^ z / (0.5 ^ (4 / 3))
0.2 = 0.5 ^ z * (1 + 1 / (0.5 ^ (4 / 3))
0.2 = (1 / (2 ^ z)) * (1 + 2 ^ (4 / 3))
0.2 = (1 + 2 ^ (4 / 3)) / (2 ^ z)
1 = 5 * (1 + 2 ^ (4 / 3)) / (2 ^ z)
2 ^ z = 5 * (1 + 2 ^ (4 / 3))
z = ln(5 * (1 + 2 ^ (4 / 3))
Rücksubstitution :
t = 3 * (ln(5 * (1 + 2 ^ (4 / 3))
t = 13.412316417590876 Stunden
Eine Stunde hat 60 Minuten.
0.412316417590876 * 60 Minuten
13 Stunden und 25 Minuten nachdem das erste Glas Eistee getrunken wurde,
sinkt die Koffeinmenge im Körper auf unter 10 mg ab, wenn 4 Stunden nach
dem trinken des ersten Glases Eistee ein zweites Glas Eistee getrunken
wird.
Weil das eine komplizierte Aufgabe ist, die anfällig für
Denkfehler und Rechenfehler ist, und ich mich daher geirrt haben könnte,
vorsichtshalber lieber noch mal deine Lehrkraft fragen, oder im
Lösungsbuch nachschauen oder ähnliches, falls du sowas hast.
Ist das nicht eine Fangfrage?
Die Angabe "Eistee kann koffeingehalte von bis zu 50mg pro glas besitzen." ist doch kein Ausgangswert mit dem man rechnen kann. Es ist keine konkrete Aussage, sondern lässt unzählige Szenarien offen. Es müsste der genaue Koffeingehalt des Eistees genannt werden, die Größe des Glases bzw. wie viel sich davon tatsächlich im Glas befindet und ob es überhaupt komplett ausgetrunken wurde. Die Angaben "bis zu" und "Glas" sind keine klar definierten Werte.
Und wenn wir jetzt noch mehr ins Detail gehen wollen, dann sollten wir auch erstmal die Körpermasse des Jugendlichen klären und ob bei ihm durch häufigen Konsum ggf. eine Toleranzentwicklung stattgefunden hat. Dies ist nicht unerheblich für die Dauer der anregenden Wirkung. Denn ansonsten bin ich recht skeptisch, dass bei ihm die Halbwertszeit bei 3 Stunden liegen soll, da dies im untersten Bereich eines gesunden Erwachsenen liegt.
Ich verstehe nicht, dass auch heute noch Aufgaben gestellt werden, bei denen das Ergebnis durch viele verschiedene Faktoren variieren kann, die in der Fragestellung gar nicht geannt werden...
ca^3=0,5c Wie kommt man weiter?