Matheaufgabe-Erwartungswert-Memory
Hi leute,
ich komm einfach bei dieser Aufgabe seit 3 Tagen nicht auf die Antwort, weiß jemand die Antwort und wenn ja könnte er/sie mir bitte erklären wie man auf die antwort kommt und wie man sie rechnet(falls man großartig was rechnen müsste), hier ist die Aufgabe:
Beim Memory spielen liegen noch acht Karten(vier Pärchen) verdeckt auf dem Tisch. Klaus nimmt eine Karte. Wie viele Karten muss er im Durchschnitt noch aufdecken, bis er die passende aus den verbleibenden sieben Karten zieht, wenn er die Verteilung der Karten nicht kennt und keine Karte zweimal aufdeckt ?
Danke für eure Hilfe, :-)
3 Antworten
Nunja, Klaus hat dann die Wahl zwischen 7 verbliebenen Karten. Die Chance, im nächsten Zug die richtige Karte zu erwischen beträgt demnach 1/7. Zwischen einem und sieben Versuchen ist sozusagen alles drin. Im Schnitt würde ich sagen ist bei vier Versuchen die richtige Karte gefunden.
Ein zweiter Ansatz: nach jeder gezogene Karte erhöht sich die Wahrscheinlichkeit, die richtige Karte zu ziehen. Also 1/7 -> 1/6 -> 1/5 ->1/4 -> ... weil ja bekannt ist, wo sich die richtige Karte nicht befindet. Wenn die Wahl zum Schluß auf nur noch zwei Karten fällt, liegt die Wahrscheinlichkeit, die richtige Karte zu ziehen bei 50% und nicht mehr bei 14%. Der Erwartungswert dürfte daher bei etwas weniger als 4 liegen.
wie muss ich es rechnen um auf etwas weniger als 4 zu kommen
Bei diesem Problem werden hier im Forum einige grundsätzlich falsche Antworten gegeben. Deshalb eine Richtigstellung.
Fragestellung: Beim Memory liegen noch 4 Pärchen (also 8 Karten) verdeckt auf dem Tisch. Kati deckt eine Karte auf. Wie viele Karten muss sie im Durchschnitt noch aufdecken, bis sie die passende aus den verbleibenden sieben Karten zieht, wenn sie die Verteilung der Karten nicht kennt und keine Karte zweimal aufdeckt ?
Lösung: Es stimmt schon (wie Einige hier sagen), dass die Wahrscheinlichkeit, die richtige Karte zu treffen, zunimmt je mehr man zieht. Spätestens beim 7. Zug hat man 100% Garantie, die richtige Karte aufzudecken. Aber das wird hier überhaupt nicht gefragt!!!
Wenn man dieses Spielchen in genügend grosser Zahl wiederholt, dann wird man feststellen, dass mal 1 Zug genügt, mal 2 Züge usw. bis zu 7 Züge. Es geht bei dieser Frage hier also um die Verteilung der Anzahl Züge. Machen wir mal 1000 Spiele. In wievielen Spielen werden 1, 2, 3 usw. bis 7 Züge benötigt? Je grösser die Anzahl Spielwiederholungen, desto genauer wird sich die wahre Verteilung zeigen. Diese Verteilung lässt sich errechnen und daraus ergibt sich dann die gesuchte durchschnittliche Anzahl benötigter Züge.
Die erste Karte, die aufgedeckt wird, bestimmt das passende Gegenstück. Bezeichnen wir das Bild darauf mit X, dann wird das andere zweite X gesucht, alle anderen Karten sind dann O (Niete, oder Null). Die Wahrscheinlichkeit für das Aufdecken der ersten Karte beträgt natürlich 100% (also P(X) = 1). Das tönt trivial, ist aber wichtig. Nachdem X aufgedeckt wird, liegen noch 7 verdeckte Karten auf dem Tisch. Davon ist eine Karte die Richtige. Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit im nächsten Zug (also Zug 1) das andere X - also P(XX) - auf zu decken: 1 * 1/7 = 1/7. Wird kein X gezogen, dann gibt es eine Niete (O), also P(XO) = 1 * 6/7 = 1-P(XX) = 6/7, und der 2. Zug kommt dran. Es liegen jetzt noch 6 verdeckte Karten mit darunter 1 Richtige. Somit P(XOX) = 1 * 6/7 * 1/6 = 1/7. So geht das weiter bis alle Möglichkeiten bzw. Kombinationen erschöpft sind.
Tabellarisch: Anzahl Züge Kombination Wahrscheinlichkeit 1 XX 1 * 1/7 = 1/7 2 XOX 1 * 6/7 * 1/6 = 1/7 3 XOOX 1 * 6/7 * 5/6 * 1/5 = 1/7 usw. 7 XOOOOOOX 16/75/64/53/42/31/2*1 = 1/7
Also, Erwartungswert E = 11/7 + 21/7 +…..+ 7*1/7 = 28/7 = 4. Im Durchschnitt wird man somit 4 Karten aufdecken müssen, bis die Passende gefunden wird.
Was hat man nun davon? Praktisch gesehen absolut rein gar nichts. Es ist vielleicht überraschend, dass die Wahrscheinlichkeit mit einem Zug fertig zu werden genau so hoch ist wie die mit 7 Zügen (nämlich stets etwa 14 %).
blöde Tabelle geht nicht - also noch einmal
Anzahl Züge - Kombination - Wahrscheinlichkeit
.....1..............XX....................1 * 1/7 = 1/7
.....2..............XOX..................1 * 6/7 * 1/6 = 1/7
.....3..............XOOX...............1 * 6/7 * 5/6 * 1/5 = 1/7
usw.
.....7..............XOOOOOOX.....1 * 6/7 * 5/6 * 4/5 * 3/4 * 2/3 * 1/2 * 1 = 1/7
klaus kann eine beliebige karte x wählen.
zudem liegen noch 7 weitere karten auf dem tisch.
die warscheinlichkeit beim ersten versuch zu treffen ist 1/7. nicht zu treffen 6/7. in den ersten beiden würfen ist die warscheinlickeit 2/7, nicht zu treffen 5/7.
abgekürzt:
1/7 / 6/7 2/7/ / 5/7 beim durchschnittlich 3,5. versuch deckt er die jeweilige karte auf
Beim zweiten Versuch vergrößert sich doch die Wahrscheinlichkeit, die richtige Karte zu ziehen, da nur noch 6 Karten zur Wahl stehen. Demnach ist die Wahrscheinlichkeit, beim zweiten Versuch die richtige Karte zu ziehen 1 - ( 6/7 * 5/6 ) = 2/7
beim dritten Versuch: 1 - ( 6/7 * 5/6 * 4/5 ) = 3/7
beim vierten Versuch: 1 - ( 6/7 * 5/6 * 4/5 * 3/4 ) = 4/7 ...
Die 3,5 klingt plausibel. Bin gerade beim Überlegen - ist schon eine Weile her.
Ich habe jetzt auch eine Weile rumgerechnet, komme aber auch immer wieder nur auf 4. Dazu habe ich den Durchschnitt der Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Versuche berechnet, also:
Wahrscheinlichkeit, im 1. Versuch die richtige Karte zu ziehen: 1/7
im 2. Versuch: 2/7 ...
Also 1/7 + 2/7 + 3/7 + 4/7 + 5/7 + 6/7 + 7/7 = 28/7 = 4.
wie kommt man auf 3.5 wie muss ich es rechnen ?