Mathe: Was ist die letzte Ziffer dieser Zahl?
4545416541325454187541897856581314865451541234548999515412454154584559425^5
Ernstgemeinte Frage!
Weißt du es wirklich nicht?
Ich weiß es, mich interessiert aber wie andere es lösen würden.
7 Antworten
4545416541325454187541897856581314865451541234548999515412454154584559425^5 5^5 mod 10
≡
25 * 25 *5 mod 10
≡
5*5*5 mod 10
≡
25*5 mod 10
≡
5*5 mod 10
≡
25 mod 10
≡
5 mod 10
= 5
passt die Rechnung ?
Wenn es nur auf die letzte Ziffer ankommt, betrachten wir das Ganze sinnvollerweise im "Restklassenring modulo 10".
Da schon 5 * 5 = 25 ist und 25 "kongruent" 5 "modulo" 10, muss jede Potenz jeder Zahl, die auf 5 endet (mit positiv-ganzzahligem Exponenten) wieder auf 5 enden.
Ggf. kleine Übung zur vollständigen Induktion.
Wenn du die Antwort weißt, warum stellst du dann die Frage? :)
Vielleicht möchte er andere Lösungsansätze kennenlernen ? Oder Fachbegriffe ?
Wäre es bei so einer Intention nicht wesentlich sinnvoller seine eigene Lösung vorzustellen und nach anderen Ansätzen zu fragen? :)
Ändert nichts daran, dass er seine Lösung nicht präsentiert hat. Er wollte also nur nachfragen, ob andere es lösen können. Vermutlich hatte er irgendwo aufgeschnappt, dass eine Zahl hoch 5 immer auf die letzte Ziffer der Zahl endet...
Das ist keine Lösung als solches, sondern nur nachplappern. Die Herleitung von PWolff war elegant, da eine Zahl die auf 5 endet als Multiplikation immer eine Zahl mit der Ziffer 5 und 0 erhalten wird. Bei gerade Multiplikator 0, bei ungerade 5.
Da die (ungerade) Zahl 5 mal mit sich selbst multipliziert wird, also 5. Als Reaktion auf diese Herleitung schrieb der Fragensteller:
5 war ein unschönes Beispiel xd
Er wollte also schlicht hinterfragen, ob andere sich seiner Herleitung bewusst sind.
Waren das genug Indizien kombiniert, oder willst du es wirklich noch weiter ausdiskutieren? :)
Tipp: Einfach Wolfram Alpha fragen:
Lösung der Rechnung:
4545416541325454187541897856581314865451541234548999515412454154584559425^{5} = 1940298019255239129200911083625219440676306720833868980828595492936119814983289420926987988907444209297786069600564677489097158960806391673978606311584104540193699393508308617601434399260175679164056460151715423562803512708663423662149149277443034591407525961311956601104556590266623284766021691124221087494305826249738594382801908341505101765821461185113837890625
Übersichtlicher:
Die letzte Ziffer ist also 5, was man sich auch durch die allgemeinen Potenzregeln herleiten kann. Die erste Ziffer ist die 1.
5^2= 5*5 = 25 -> 5 und so weiter *5 *5 *5 *5 *5 *5 *5 ...
heißt 5^x -> Endziffer immer 5
Anmerkung:
"5^{x} -> Enziffer immer 5" gilt nur, wenn x ein Element der ganzen Zahlen ist.
So ist 5^{0} = 1, oder 5^{1/2} = sqrt(5) = 2,236067977...
fünf.
Wenn es dir um die Hochzahl ging, hättest du nicht beide Zahlen 5 machen sollen.
5 war ein unschönes Beispiel xd
Gilt explizit bei Hoch 5 nicht nur für k = 5 sondern für alle natürlichen einstelligen Zahlen
(Zahl letzte Ziffer k)^5 = Zahl mit letzter Ziffer k