Frage von TSoOrichalcos, 188

Kann man die letzte Ziffer einer Zahl bestimmen?

Wenn ich z.B. 6^41627825 habe, wie berechne ich dann ohne die Zahl zu kennen weil sie zu groß ist die letzte Ziffer?

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von ThomasAral, 124

musst du für jede basis ne extra formel aufstellen ... die du genannt hast ist leicht.  Basis 6 gibt immer als Einerzahl eine 6.

6 * 6 = 36,  6 * 6 * 6 = 216,  ....  wird immer 6 am Ende sein.

Bei anderen Basen gibts eine periodische Auswahl an Zahlen mit denen du eine leichte Formel basteln kannst.---

bei 2:

2 * 2 = 4,  8, 16, 32, 64, ... wiederholen  

also bei 2 wiederholt sich die Folge  {2, 4, 8, 6}  das heißt

du teilst den exponenten durch 4 ... 

kommt als rest 1:  dann ist die Einerzahl 2

2: 4,   3: 8,   rest 0:  einerzahl 6.   Nun noch eine Formel finden, die einen großen exponenten leicht den Rest bei einer Division durch 4 rausfinden lässst ... usw.


Kommentar von ThomasAral ,

also ist die vorletzte Zahl gerade, dann ist der Rest der Division durch 4 das gleiche wie wenn man nur die letzte zahl durch 4 teilt,  d.h.    Rest 0 bei  0, 4, 8,  Rest 1 bei: 1, 5, 9,  Rest 2 bei  2, 6,  Rest 3 bei 3,7.

ist die vorletzte Zahl ungerade, dann ist der Rest der Division durch 4 das gleiche, wie wenn man 10 plus die letzte Ziffer durch 4 teilt, d.h. Rest 0 bei  2, 6,  Rest 1 bei 3,7,  Rest 2 bei 0, 4, 8,  Rest 3 bei  1, 5, 9.

2^527829275 hat folgende Einerzahl:

15 mod 4 = 3

4te Zahl der Folge (erste zahl gilt als Rest 0):  { 2, 4, 8, 6 }  = 6

Kommentar von ThomasAral ,

sorry falsch:  rest 1 ergibt 2 ... also ist nicht die 4te sondern die 3te zahl der folge das Ergebnis ... also 8

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 95

Hallo, 

da 6*6 eine Zahl mit einer 6 am Ende ergibt, nämlich 36, gibt auch 36 eine Zahl mit einer 6 am Ende, 216, usw. Alle Potenzen von 6 mit natürlichen Exponenten außer Null haben am Ende eine 6 stehen, also auch Deine Zahl.

Dasselbe ist bei der 5, immer 5 am Ende) der Fall oder bei Zehnerpotenzen (immer 0 am Ende). Auch bei Zahlen, die am Ende eine 1 stehen haben, enden die Potenzen mit natürlichen Exponenten, hier sogar einschließlich der Null, auf 1.

Herzliche Grüße,

Willy

Expertenantwort
von hypergerd, Community-Experte für Mathematik, 56

Es gibt den Pow-Mod-Algorithmus, mit den man ohne extrem große Zwischenergebnisse zum Ziel kommt.

Mod steht für Modulo = Divisionsrest 

x % y = x mod y = x - floor(x/y)*y mit floor = Abrundungsfunktion

Der Iterationsrechner unter

http://www.lamprechts.de/gerd/Roemisch_JAVA.htm

zeigt das online im Beispiel 122 

Wenn man letzte Stelle braucht, entspricht das Mod 10

braucht man 2 letzte Stellen mod 100

n letzte Stellen mod (10^n)

Für 2 Stellen also Init: aB[0]=a=6;b=41627825;c=100;

Nach 26 Schritten (Iterationen) ist man fertig -> siehe Bild 1

Der wissenschaftliche Umkehrfunktionen Rechner

php / RechnerMitUmkehrfunktion.php (auch im 1. LINK verlinkt)

kann bei der pow(x,y)-Funktion extrem viel mehr Stellen:

1.187138801258945388682272825...e32392744

mod N =62185373523334486174202512836925772005376

Bild 2

Ich kann Dir auch gern alle 32392745 Stellen ausrechnen -> dann bitte mit Begründung.

Antwort
von YStoll, 58

Die letzte Ziffer eines Produkts hängt nur von der letzten Ziffer der beiden Faktoren ab.
Für das folgende gelte: "[...]" ist die letzte Ziffer einer natürlichen Zahl (im Dezimalsystem), also beispielsweise [4]=4    [23]=3   [6238249]=9.
Da 6^41627825 = 6^41627824 * 6 folgt [6^41627825]=[6^41627824] * [6]
Jetzt könntest du unter Verwendung der Tatsache, dass [6²]=[36]=6 mittels Vollständiger Induktion beweisen, welches die letzte Ziffer von 6^41627825 sein muss.
Oder aber du guckst dir an, was [6²], [6³] und [6⁴] sind und reimst dir die Lösung für [6^41627825] selbst zusammen.

Antwort
von Mikkey, 56

Alle Potenzen von 6 haben eine 6 am Ende.

Lässt sich auch beweisen, habe dazu aber keine Lust.

Kommentar von TSoOrichalcos ,

Und wenn ich z.B. 2^527829275 hab?

Kommentar von Willy1729 ,

Die Zweierpotenzen enden der reihe nach auf 2, 4, 8 und 6, danach kommt wieder eine 2. Also 2^(4n+1) endet auf 2, 2^(4n+2) auf 4, 
2^(4n+3) auf 8 und 2^(4n) auf 6.

Teile die 527829275 durch 4 und ermittle den Rest (3)

2^(4n+3) hat am Ende eine 8.

Gruß,

Willy

Antwort
von Naajed, 55

Ich habe jetzt keine Antwort und im Internet steht auch nichts, aber wer hätte denn Lust mal eine Formel dazu zu machen :-) ?

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