Mathe mündliches Abi - Wachstum einer tropischen Pflanze?
hallo ich habe leider die Aufgabe b und e nicht vollständig lösen können und e hab ich nicht wirklich verstanden.Könnte mir jemand behilflich sein? :((
1 Antwort
b) Die momentane Wachstumsgeschwindigkeit beträgt:
f(t) = t * e^(-0,2t)
Der Graph ist abgebiödet. Das Maximum dder Wachstumsgeschwindigkeit liegt dort, wo f'(t) = 0 ist.
Die Ableitung ist bereits gegeben:
f'(t) = (1- 0,2t)*e^(-0,2t)
Das müssen wir zu 0 setzen und nach t auflösen:
(1- 0,2t)*e^(-0,2t) = 0
Satz von Nullprodukt: ein Produkt wird dann zu 0, wenn einer der Faktoren zu 0 wird.
e^(-0,2t) kann nicht zu 0 werden, da e hoch irgendwas immer größer als 0 ist. Also kann nur die Klammer vor dem e zu 0 werden:
(1- 0,2t) = 0
0,2t = 1
t = 5
Ergebnis: die maximale Wachstumsgeschwindigkeit wird im 5. Jahr erreicht. Das entspricht auch dem Graphen.
Aufgabe e)
Dass W die Stammfunktion von f(t) ist, braucht nicht vorgerechnet zu werden. Da steht ja, dass das ohne Nachweis so übernommen werden kann. Genau genommen muss man dem jedoch wiedersprechen, da f eine Funktion von t ist und W eine Funktion von x ist. Da scheint den Aufgabenstellern ein Fehler unterlaufen zu sein.
Man kann argumentieren: Die Aufsummierung momentaner Änderungsraten ergibt immer den absoluten Wert dessen, was sich ändert. Das ist der Sachzusammenhang eines jeden Integrals. Die Aufsummierung bzw. das Integral einer Geschwindigkeit ergibt immer den zurückgelegten Weg.
Man kann auch andersrum argumentieren: Wenn W die absolute Höhe der Pflanze ist und f die Ableitung von W, dann gibt f die momentane Änderung der Höhe wieder. Das ist der Sachzusammenhang von jeder Ableitung.
Das kann man auch an der Maßeinheit erkenne: Die Wachstumsgeschindigkeit wird in Zentimetern pro Jahr, also cm/Jahr, angegeben. Bei Integrieren nach der Zeit wird aus cm/Jahr die Einheit cm. Das kann nur die Höhe der Pflanze sein.
Die Höhe W setzt sich mathematisch gesehen aus dem Term 30 zusammen, von dem aber etwas abgezogen wird, nämlich -(25 + 25x)*e^(-0,2t). Dieser Term bleibt negativ, denn e hoch irgendwas wird nie negativ und kann daher das negative Vorzeichen nicht umdrehen. Was von den 30 cm abgezogen wird, wird mitzunehmendem t aber immer kleiner. Das bedeutet, dass sich die Pflanze im Laufe der Zeit der maximalen Höhe von 30 cm nähert.