Mathe Kegel Aufgabe (Kettenregel)?
Kann mir bitte jemand bei dieser Aufgabe helfen?
o 13 In einen auf der Spitze stehenden kegelförmigen Behälter mit dem Radius 10 cm und der Höhe
30 cm werden pro Sekunde 20 cm3 Wasser eingefüllt. Das Volumen V(t) des Wassers und die
Höhe h (t) des Wasserspiegels im Behälter hängen also von der Zeit t (in s) ab.
a) Ermitteln Sie den Funktionsterm h(t). Wie hoch steht das Wasser nach einer Minute im Behäl-
ter?
b) Während des Füllvorgangs steigt der Wasserspiegel unterschiedlich schnell. Begründen Sie,
warum das so ist.
c) Wie schnell steigt er nach einer Minute?
1 Antwort
Zu jedem Zeitpunkt bildet das Wasser einen Kegel mit demselben Öffnungswinkel wie der Behälter.
Da die Kegel und ihre Längsschnitte ähnlich zueinander sind (konstante Winkel), sind zu jedem Zeitpunkt h und r proportional zueinander. Weil zusätzlich die Abmessungen des Behälters gegeben sind, kann man h aus r und umgekehrt berechnen.
Damit kann man das Wasservolumen als Funktion von h darstellen.
Wir haben aber das Volumen als Funktion der Zeit gegeben, und h ist als Funktion der Zeit gesucht.
Also müssen wir die Volumenformel nach h umstellen.
a) siehe oben; 60 Sekunden für t einsetzen.
b) Wie ändert sich der Querschnitt eines Behälters mit der Höhe, für den Füllhöhe ind Füllvolumen proportional zueinander sind?
c) Ableitung bilden