Mathe Integralproblem, Medikamentenkonzentration?
Hallo an die Mathematikaffine Community,
Um mein Problem zu schildern stelle ich euch erst meinen Wissensstand und dann die Aufgabe dar.
Thema: Integrale
Ein Integral (von,bis) beschreibt die Fläche (von,bis) unter dem Graphen f(x), von dem man das Integral gebildet hat. Das Integral(0,1) von f(x) würde mir also die Fläche unter dem Graphen f(x) zwischen 0 und 1 angeben.
Mit dem Wissen ergibt sich mir also folgendes Problem in folgender Aufgabe:
f(x): Gibt Konzentration eines Medikamentes in mg zum Zeitpunkt t im Körper an
f'(x): Gibt folglich die schnelligkeit der Medikamentenzunahme im Körper zum Zeitpunkt t an
Aufgabe: Integral(0 bis 10)f'(x). Erläutern sie die Bedeutung.
Die Antwort liegt aufgrund der Fragestellung ja schon auf der Hand (habs auch nachgerechnet indem ich 0 bis Zeitraum, wo die Konzentration stagniert, eingesetzt habe und kam auf die Endkonzentration): Sie gibt die Gesamtkonzentration des Medikaments im Zeitraum 0 bis 10 an.
Mein Problem: Wieso bildet man das Integral der Ableitung dafür? Das integral würde doch die Fläche und somit die Werte unter der Ableitungsfunktion angeben. Wieso bildet man nicht das intergral (0 bis 10) von f(x), um somit die Fläche unter der Funktion zu berechnen, die auch die Konzentration angibt?
vielleicht findet sich ja jemand der mir helfen kann. LG
2 Antworten
Integral der Ableitung ist nicht das gleiche wie das Integral der eigentlichen Funktion. Vergleiche z.B.
f(x) = x^2
und
f'(x) = 2x
Du würdest nicht die Endkonzentration des Stoffes herausbekommen, wenn du das Integral von f(x) bilden würdest, sondern du würdest alle Konzentrationen von 0-10 aufsummieren.
Du würdest z.B. zum Zeitpunkt t=t1 die Konzentration mit der Konzentration zum Zeitpunkt t=t2 usw. zusammenrechnen.
ich sags mal so:
es gilt ja:
integral (0-10)f'(x)=f(10)-f(0)
f(10) ist die menge an medikamenten im Körper zum zeitpunkt 10
und f(0) ist die menge zum zeitpunkt 0.
von daher ist deren differenz gerade die menge an medikamenten, die neu im körper hinzugekommen sind in der zeit.
das ist wie wenn du einen eimer hast.
f(t) gibt die wassermenge im eimer an zur zeit t,
f'(t) die geschwindigkeit mit der neues wasser hinzukommt.
hier könnte es sein dass du lediglich wei0t dass bspw. f'(x)=5 ist, also 5 liter pro Minute da reinlaufen.
Dann kannst du auch ohne Näheres über den Eimerinhalt zu wissen ausrechnen wieviel Liter zwischen Minute 1 und 10 da reinlaufen.
f(x) zu integrieren würde irgendwie keinen sinn machen, was soll das bringen?
bzw. was sollte das überhaupt bedeuten?