Integral berechnen?
Ich habe 2 Aufgaben, bei welchen ich nicht weiß wie ich vorgehen soll.
a) Bestimmen Sie die Fläche zwischen dem Graphen der Funktion f(x) = 1/3 (x^2-3) (x+1) und der x-Achse im 4. Quadranten eingeschlossen wird
b) Bestimmen Sie die Fläche, die dem Graphen der Funktion f(x) = 1/2(x^2-1)^2 und dem Graphen der Geraden y=2 eingeschlossen wird.
ich hoffe jemand kann mir erklären wie ich bei diesen Aufgaben vorgehen soll.
4 Antworten
zuerst immer eine Zeichnung machen,damit man einen Überblick hat
f(x)=1/3*(x²-3)*(x+1)=
f(x)=1/3*x³+1/3*x²-1*x-1
zuerst die Nullstellen ermitteln,weil man nicht über Nullstellen hinweg integrieren darf
(ausgenommen bei der Differenzenformel A=∫f(x)-g(x))
Nullstellen mit meinem Graphikrechner (GTR,Casio),x1=-1,732.. und x2=-1 und x3=1,732..
aus der Zeichnung → integrieren von untere Grenze xu=0 bis obere Grenze xo=1,732
F(x)=∫(1/3*x³+1/3*x²-1*x-1)*dx=1/3*∫x³*dx+1/3*∫x²-1*∫x¹*dx-1*∫x⁰
F(x)=1/12*x⁴+1/9*x³-1/2*x²-1*x+C
A=obere Grenze minus untere Grenze=F(xo)-F(xu) → xo=1,732 und xu=0
A=[F(1,732)] - [F(0)]
mit meinem GTR
A=-1,9047..FE (Flächeneinheiten) → Minuszeichen,weil die Fläche unter der x-Achse liegt
Betrag A=1,905 FE
In Handarbeit musst du die Nullstelle x3=1,732 durch probieren angenähert ermitteln und diesen Wert dann durch einer der beiden Näherungsformeln verbessern
1) Newton (Tangentenverfahren)
2) Regula falsi (Sehnenverfahren)
b) binomische Formel (x-b)²=x²-2*b*x+b²
f(x)=1/2*(x²-1)²=1/2*(x⁴-2*1*x²+1²)
f(x)=1/2*x⁴-1*x²+1/2 mit der Geraden y=2=konstant → Schnittstellen
y=f(x) →0=f(x)-y mit dem GTR x1=-,1732.. und x2=1,732
Differenzenformel A=∫f(x)-g(x)
f(x)=obere Begrenzung
g(x)=untere Begrenzung
aus der Zeichnung
A=∫2-(1/2*x⁴-1*x²+1/2)=∫(2-1/2*x⁴+1*x²-1/2)*dx
A=∫(-1/2*x⁴+1*x²+1,5)*dx
A=-1/10*x⁵+1/3*x³+1,5*x+c mit xu=-1,732 und xo=1,732
A=obere Grenze minus untere Grenze=F(xo)-F(xu)
A=[F(1,732)] - [F(-1,732)]
Den Rest schaffst du selber.
Hinweis: bei A=∫f(x)-g(x)
1) man darf über Nullstellen hinweg integrieren,die zwischen xu und xo liegen,weil wegen dem Minuszeichen -g(x) alle Fläche unter der x-Achse ein positives Vorzeichen bekommen und deshalb zur Gesamtfläche A=.. addiert werden.
2) die obere Grenze f(x) und die untere Grenze g(x) dürfen sich im Intervall xu und xo nicht abwechseln → dann die Gesamtfläche in Einzelflächen unterteilen und dann addieren A=A1+A2+..An
3) vertauscht man f(x) und g(x),so ändert sich das Vorzeichen vor A=.. → der Zahlenwert ändert sich nicht → Betrag
Infos
kann bei Fkt nicht genau verstehen :
f(x) = 1/3 (x^2-3) (x+1) ..........mal (x+1) ??
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1/2(x^2-1)^2...........wirklich hoch 2 , so dass 0.5 * ( x^4 - 2x² + 1) entsteht ?
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wenn f(x) so gemeint ist :
dann wirst du nach dem Feststellen der Nullstellen feststellen ,dass nur die rechte zum 4ten Quadranten gehört .........
Int geht also von 0 bis zu dieser Nullstelle.
Und vor dem Integrieren erstmal ausmultiplizieren.
Hallo :)
ich schreibe morgen genau darüber eine Klausur !
bei der ersten Aufgabe musst du die Nullstellen der Funktion bestimmen und anschließen die kleinste und größte Nullstellen als integralgrenzen benutzen . Also Nst (kleinste )S und oben Nst (größte )danach f(X)dx und jetzt sollte dir der Taschenrechner die Fläche berechnen .
bei zwei musst du erst die Schnittpunkte der zwei Funktionen bestimmen
meinst mit Solve(f(x)=2,x) und danach diese als integral Grenzen nutzen (genauso wie bei Aufgabe 1 )
hoffe es hilft :)
Leider dürfen wir keinen Spezial Taschenrechner benutzen, sondern nur einen Standard. Die nullstellen habe ich jetzt berechnet. Was kommt als nächste :)
berechne zunächst mal die Nullstellen.
versteht du genau , welche Fkt gemeint sind ?