Wie löst man diese Aufgabe?
Aufgabe Sei f(x)=-1/6x3-x2+16/3.
a) Skizzieren Sie den Graphen von f mithilfe einer Wertetabelle für -5 <x<1.
b) Berechnen Sie die Extrema von f.
c) Wie lautet die Gleichung der Wendenormalen? In welchen weiteren Punkten schneidet die Wendenormale den Graphen von f?
d) Für -5<x<0 beschreibt der Graph von f modellhaft den Querschnitt einer Senke. Am tiefsten Punkt wird ein Osterfeuer angezündet. Beschreiben Sie, welche Punkte der Senke vom Feuer erleuchtet werden. e) Eine Einheit entspricht 10 m im Gelände. Wie hoch muss eine Aussichtsplattform am rechten Rand der Senke mindestens sein, damit eine Person, deren Augenhöhe 1,67 m beträgt, von dort das Feuer beobachten kann?
1 Antwort
a.) Wertetabelle kannst du selber anfertigen.
https://www.youtube.com/results?search_query=wertetabelle+erstellen
https://www.matheretter.de/rechner/wertetabelle
Erst mal die ersten 3 Ableitungen bilden :
f(x) = - (1 / 6) * x3 - x2 + (16 / 3)
f´(x) = - (1 / 2) * x² - 2 * x
f´´(x) = - x - 2
f´´´(x) = - 1
b.)
Nullstellen der 1-ten Ableitung berechnen :
- (1 / 2) * x² - 2 * x = 0 | * (-2)
x² + 4x = 0
Ein x ausklammern :
x * (x + 4) = 0
Den Satz vom Nullprodukt anwenden ( https://www.youtube.com/results?search_query=satz+vom+nullprodukt+anwenden ) :
x_1 = 0
x + 4 = 0
x_2 = - 4
x_1 und x_2 in die zweite Ableitung einsetzen :
f´´(x) = - x - 2
f´´(0) = - 0 - 2 = - 2
Weil f´´(0) < 0 ist, deshalb liegt an der Stelle x_1 = 0 ein Maximum ( Hochpunkt).
f´´(-4) = - (- 4) - 2 = 2
Weil f´´(-4) > 0 ist, deshalb liegt an der Stelle x_2 = - 4 ein Minimum (Tiefpunkt).
x_1 und x_2 in die Funktion f(x) einsetzen um die vollständigen Punkte zu erhalten :
f(x) = - (1 / 6) * x3 - x2 + (16 / 3)
f(0) = - (1 / 6) * 03 - 02 + (16 / 3) = 16 / 3
f(-4) = - (1 / 6) * (-4)3 - (-4)2 + (16 / 3) = 0
Tiefpunkt (Mimimum) (- 4 | 0)
Hochpunkt (Maximum) (0 | 16 / 3)
c.)
Wendepunkt berechnen :
Nullstellen der zweiten Ableitung berechnen :
f´´(x) = - x - 2
- x - 2 = 0
x = - 2
f´´´(- 2) = - 1
Weil f´´´(-2) ungleich Null ist, deshalb ist das auch wirklich eine Wendestelle.
x = - 2 in f(x) einsetzen :
f(- 2) = - (1 / 6) * (- 2)3 - (- 2)2 + (16 / 3) = 8 / 3
Wendepunkt (- 2 | 8 / 3)
Steigung im Wendepunkt berechnen, dazu muss x = -2 in f´(x) eingesetzt werden :
f´(x) = - (1 / 2) * x² - 2 * x
f´(- 2) = - (1 / 2) * (- 2)² - 2 * (- 2) = 2
Das bedeutet die Steigung der Wendenormalen muss folgendes sein :
m = - 1 / 2
Da die Wendenormale eine Gerade der Form y = m * x + b ist, muss b noch ausgerechnet werden, dazu nimmt man den Wendepunkt zur Hilfe :
y = m * x + b
8 / 3 = - (1 / 2) * - 2 + b
8 / 3 = 1 + b
8 / 3 = 3 / 3 + b
b = 5 / 3
Also lautet die Wendenormale jetzt :
y = - (1 / 2) * x + (5 / 3)
Berechnen, in welchen Punkten die Wendenormale die Funktion f(x) schneidet :
f(x) = - (1 / 6) * x3 - x2 + (16 / 3)
- (1 / 6) * x3 - x2 + (16 / 3) = - (1 / 2) * x + (5 / 3)
- (1 / 6) * x3 - x2 + (1 / 2) * x + (11 / 3) = 0 | * - 6
x³ + 6x² - 3x - 22 = 0
Polynomdivision durchführen, dazu braucht du bereits eine bekannte Nullstelle, die kennst du auch, denn die liegt bei x = - 2
https://www.youtube.com/results?search_query=polynomdivision+durchf%C3%BChren
(x³ + 6x² - 3x - 22) / (x + 2) = x ^ 2 + 4 * x - 11
pq-Formel anwenden ( https://www.youtube.com/results?search_query=pq+formel+anwenden ) :
x ^ 2 + 4 * x - 11 = 0
x_1 = - 2 - √(15) = - 5.872983346207417
x_2 = - 2 + √(15) = 1.872983346207417
x_1 und x_2 in f(x) einsetzen :
f(x) = - (1 / 6) * x3 - x2 + (16 / 3)
f(- 2 - √(15)) = - (1 / 6) * (- 2 - √(15))3 - (- 2 - √(15))2 + (16 / 3) = 4.6031583397703715
f(- 2 + √(15)) = - (1 / 6) * (- 2 + √(15))3 - (- 2 + √(15))2 + (16 / 3) = 0.7301749935629571
Schnittpukte :
(- 5.872983346207417 | 4.6031583397703715)
(1.872983346207417 | 0.7301749935629571)
Das ist schade. Vielleicht kann dir jemand anderes helfen.
Das kannst du nicht wissen.
Solange der Fragesteller sich selber nicht über meine Antwort beschwert habe ich kein Problem mit meiner Antwort.
Doch hat er weil er so nicht an die eigenstaendige Loesung rangefuehrt wird, sowas wie von dir gibt es nur um 7:55 um keine 6 zu kassieren, vorher machen nur Hinweise sinn.
Dass der Op froh war nicht selber denken zu muessen ist leider klar, aendert sber nichts daran, dass es nicht hilfreich ist, es so komplett fuer ihn hinzuschreiben.
Ich bin anderer Meinung !
Man sollte eine Rechnung wenigstens ein mal ausführlich gesehen haben, um sie nachvollziehen und verstehen zu können.
Das hat er 100% in der Schule, ansonsten kann man immer noch ein einfaches Beispiel nehmen, die HA komplett fuer ihn zu rechnen, bleibt sinnlos.
Nicht hilfreich