MATHE EXPONENTIALFUNKTION AUFGABE HILFE?
Aufgabe :
Bestimme die Ansammlung des Wirkstoffs nach 3 Tagen, BEVOR die Person erneut das Medikament zu sich nimmt. Gehe davon aus, dass vor der ersten Einnahme keine Restmenge des Wirkstoffes Wirkin im Körper bzw Blut vorhanden ist.
ich brauche dringend Hilfe, ich komme nicht weiter vielen Dank ich voraus :)4 Antworten
1 Gramm = 1000 Milligramm
N(t) = 1000 * (5 / 100) * (35 / 100) * (1 - (25 / 100)) ^ t
Das jetzt für t = 3 ausrechnen :
N(3) ≈ 7,4 Milligramm
So kann man es auch verstehen, da hast Du recht.
Ich ging davon aus, daß täglich eine neue Tablette gegeben wird, was mathematisch auf jeden Fall reizvoller ist.
Ja, das ist um einiges anspruchsvoller ! Und du hast eine sehr schöne Rechnung gezeigt.
Hallo,
5 % von 1 g sind 50 mg.
Davon gelangen 35 % ins Blut: 50*0,35=17,5 mg.
Davon werden 25% pro Tag abgebaut, so daß vor der nächsten Einnahme noch 75 % oder 3/4 des Wirkstoffes vorhanden sind.
17,5*0,75=13,125 mg.
Das ist die Wirkstoffmenge nach einem Tag, bevor die nächste Dosis kommt.
Zu den 13,125 mg kommen noch einmal 17,5 mg hinzu.
Von den insgesamt 30,625 mg werden wiederum 25 % abgebaut usw.
Du kannst das nun einzeln berechnen; Du kannst es aber auch geschickter anstellen, denn falls der Lehrer demnächst wissen möchte, was denn wohl nach Tag 42 los ist, rechnest Du Dir auf diese Weise einen Wolf.
Setze die 17,5 mg als M für Medikament, damit es übersichtlicher wird.
Du bekommst M, baust 1/4 davon ab und hast 3/4 M übrig.
Dann kommt wieder M dazu, so daß Du M+3/4 M hast, also die neue Dosis plus den Rest von der alten.
Diese Summe wird wieder um 25 % reduziert. So hast Du am Ende von Tag 2
(M+3/4 M)*3,4, mithin 3/4 M+3/4 M*3/4 oder M*(3/4+(3/4)²).
Mit jedem Tag, der vergeht, kommt zu der Summe in der Klammer die nächsthöhere Potenz von 3/4 dazu, während der Faktor M vor der Klammer konstant bleibt (die Einzeldosis bleibt ja gleich).
Du bekommst so die Reihe sn=M*((3/4)^1+(3/4)^2+...+(3/4)^t), wobei t für die Anzahl der vergangenen Tage seit der ersten Dosis steht.
Wenn Du sn mit 3/4 multiplizierst, bekommst Du eine fast identische Reihe:
(3/4)sn=M*(3/4)*((3/4)^1+(3/4)^2+...+(3/4)^t) oder
M*((3/4)^2+...+(3/4)^t+(3/4)^(t+1))
Ziehst Du (3/4) sn von sn ab, bekommst Du (1/4) sn und bis auf die beiden äußeren Glieder der Reihe heben sich alle anderen auf, weil sie identisch sind:
(1/4)sn=M*((3/4)^1-(3/4)^(t+1))
Um wieder auf sn zu kommen, nimmst Du das Ganze mal 4:
sn=4M*((3/4)-(3/4)^(t+1))
Nun das M noch durch 17,5 ersetzen:
sn=70*( (3/4)-(3/4)^(t+1))
Möchtest Du wissen, wie hoch die Wirkstoffmenge nach Tag t=3 ist, setzt Du dies einfach in die Summenformel ein:
s3=70*((3/4)-(3/4)^4)=30,35 mg (gerundet).
Auf dieses Ergebnis kommst Du auch, wenn Du zu der Restmenge des vergangenen Tages 17,5 mg addierst, das Ergebnis wieder mit 0,75 multiplizierst, dazu wieder 17,5 addierst usw., bis Du vor der Gabe des vierten Tages angelangt bist.
Herzliche Grüße,
Willy
Wahrscheinlich hat precursor mit seiner Antwort recht. Ich bin davon ausgegangen, daß das Medikament täglich eingenommen wird, nicht erst wieder nach drei Tagen.
Von täglicher Einnahme steht aber nichts in der Aufgabe.
Dann ist die Rechnung natürlich viel einfacher, weil Du nur den Abbau innerhalb dieses Zeitraums berechnen mußt.
Rechne Schritt für Schritt:
- Wieviel Gramm Wirkin sind in 1 Tbl.?
- Wieviel Gramm Wirkin gelangen ins Blut usw.
- 5% von 1000mg sind 50mg Wirkstoff je Tablette.
- Die Bioverfügbarkeit (peroral/ enteral) des Wirkstoffs beträgt 35%. Somit gelangen 17,5mg ins Blut.
- Innerhalb der ersten 24h werden 25% der 17,5mg Wirkstoff abgebaut. Nach 24h sind noch 4,375mg Wirkstoff enthalten.
- Innerhalb der zweiten 24h werden 25% der 4,375mg Wirkstoff abgebaut. 48h nach Einnahme sind also noch ~1,094mg Wirkstoff im Blut.
- Innerhalb der dritten 24h werden 25% der ~1,094mg Wirkstoff abgebaut. Nach 3 Tagen sind also noch ~0,273mg Wirkstoff im Blut.
Ich habe über den Dreisatz gerechnet.
Aber auch die Exponentialrechnung 17,5mg*(0,25^3) ergibt 0,273mg.
LG
Anmerkung :
Ich habe deine Aufgabe so verstanden, dass erst nach dem Ablauf von 3 Tagen eine weitere Tablette gegeben wird, und vorher nicht.