Mathe anzahl lösungen? Sinus und cosinus?
Hey Wie viele lösungen kann die gleichung in der grundmenge (alpha = wertemenge | 0grad < gleich alpha < gleich 360grad) besitzen?
1)Geg: sinus alpha = t (für t element R )
2)Geg: cosinus alpha = t (")
Und bitte mit erklärung :/ Danke
2 Antworten
Am Besten schaust Du Dir das im Einheitskreis an. Zeichnest Du im Einheitskreis ein rechtwinkliges Dreieck, dann ist die Länge der senkrechten Kathete der sinus(Alpha); die Länge der waagerechten Kathete (auf der x-Achse) ist dann cosinus(Alpha).
Die senkrechte Kathete (sinus) hat an der y-Achse gespiegelt die gleiche Höhe. Der cosinus hat an der x-Achse gespiegelt die gleiche Länge.
An den zweiten passenden Winkel kommst Du mit etwas Überlegung. Hast Du einen Winkel Alpha im ersten Quadranten (oben rechts) gegeben, dann ist dieser Winkel "Alpha-Grad" von der x-Achse (0°) entfernt. Damit Du im zweiten Quadranten (oben links) an den gleichen sinus kommst, muss auch dort der Winkel um "Alpha-Grad" von der x-Achse entfernt sein. Der Winkel "gegenüber" von 0° ist 180°. Ziehst Du hiervon die "Alpha-Grad" ab, dann hast Du den passenden Winkel.
Beispiel: Alpha=45°; passender Winkel für sin(Alpha) ist im 2. Quadranten bei 180°-45°=135°, d. h. sin(45°)=sin(135°)
Beim cosinus ist es ähnlich. Nur musst Du um von Quadrant 1 zu Quadrant 4 (unten rechts) zu kommen 360°-Alpha rechnen.
Beispiel: Alpha=45° => passender Winkel für gleichen cosinus: 360-45=315
also: cos(45°)=cos(315°)
Viele Worte sind allerdings nicht so veranschaulichend und verständlich wie "Animationen".
siehe hier (vor allem das Applet weiter unten):
https://de.serlo.org/mathe/geometrie/sinus-kosinus-tangens/sinus-kosinus-tangens-einheitskreis/trigonometrie-einheitskreis
Um aber die eigentliche Frage zu beantworten: so ziemlich jeder sinus und cosinus kommt im intervall [0;360] zweimal vor;
Ausnahmen:
sin=0 gibts dreimal: sin(0°)=sin(180°)=sin(360°)
sin=1 und sin=-1 und cos=-1 jeweils einmal
Wahrscheinlich heisst es 0 <= alpha < 360 anstatt 0 <= alpha <= 360 ?
1)
Die Gleichung sin(alpha) = t hat im Intervall 0 <= alpha < 360
0 Lösungen für |t| > 1
1 Lösung für |t| = 1
2 Lösungen für |t| < 1
2)
ebenso
Erklärung: sin() oder cos() Funktionsgraphen im Intervall [0,360] zeichnen. Dann eine senkrechte Linie in der Höhe t einzeichnen. Anzahl der Schnittpunkte = Anzahl der Lösungen.