Mathe - y=x^3 überall steigend?
Sind Potenzfunktionen mit ungeradem Exponent überall steigend? Ich dachte bei (0I0) ist sie weder steigend noch fallend. Deswegen wäre doch beispielsweise die Potenzfunktion y=x^3 nicht überall steigend, oder?
4 Antworten
Wenn Du mit steigend das Vorzeichen der ersten Ableitung meinst: x³ ist in 0 nicht steigend, sondern hat eine waagrechte Tangente.
Wenn Du unter steigend (strenge) Monotonie verstehst: x³ ist streng monoton.
Die beiden Begriffe hängen natürlich zusammen:
streng monoton steigend <==> f' >= 0 und fast überall f'>0.
"Steigend" ist nicht wirklich eine Eigenschaft, die in einem einzelnen Punkt definiert ist. Mathematiker sagen:
"Eine Funktion f ist streng monoton steigend, wenn für alle a > x auch f(a) > f(x) gilt." (vllt würden sie es formaler und unverständlicher ausdrücken, aber das ist die Idee).
Die Steigung in x = 0 ist zwar 0, aber trotzdem sind alle Funktionswerte "rechts" davon positiv und "links" davon negativ. Daher hält diese Steigung die Funktion nicht davon ab, streng monoton steigend zu sein.
Überlege mal die an der x-Achse gespiegelte Funktion: y = -x³ ? Die steigt nirgends.
Zurück zu deiner Frage: y = x³ ist überall steigend. In (0|0) ist die Steigung zwar = 0, aber links von (0|0) ist der y-Wert kleiner als 0 und rechts von (0|0) ist der y-Wert größer als null. Das gilt auch für sehr kleine Abstände von (0|0).
Allgemein sind Funktionen dritten Grades nicht überall steigend. Die können auch Extrema haben, also ein lokales Maximum und ein lokales Minimum. y = x³ hat keine solchen Extrema.
nein sind sie nicht