Ganzrationale Funktionen-Potenzfunktion?
Hallo,
und zwar habe ich eine Frage zur Definition einer Potenzfunktion.
und zwar ist ist eine Funktin der Form x^n eine Potenzfunktion, wobei der Exponent nicht immer sine natürliche Zahl sein muss, oder? Eine Funktion der Form x^-1 müsste ja auch eine Potenzfunktion sein. Eine ganzrationale Funktion ist eine Verknüpfungen aus mehreren Potenzfunktionen, wobei der Exponent natürlich sein muss. Bis hier richtig?
Jetzt ist die Aufgabe, zu bestimmen, ob folgende Aussage richtig ist: jede nach rechts verschobene potenzfunktion ist keine potenzfunktion mehr, sondern ganzrational. ich hätte behauptet, dass die Aussage nicht stimmt. Wenn man z. B die Funktion x^-1um zwei Einheiten navh rechts verschiebt, kämme (x-2)^-1 raus. Da der Exponent negativ ist, kann die Funkton doch nicht ganzrational sein? Aber warum steht im Buch, dass die Aussage stimmt?
Und ist nicht jede ganzrationale Funktion eine Potenzfunktion? Ist die Funktion x^n nur eine Potenzfunktion oder auch eine ganzrationale Funktion? Wann wird aus einer Potenzfunktion eine ganzrationale Funktion
3 Antworten
Ich würde dich zunächst bitten, die Aufgabe abzufotografieren und hier einzustellen. Ich verstehe aus deiner Beschreibung nur Bahnhof.
Weiterhin sei der Hinweis gestattet, dass mit n im Allgemeinen natürliche oder zumindest ganze Zahlen gemeint sind. Im Allgemeinen redet man dann auch nicht von Potenzfunktionen, sondern von Polynomen. Potenzfunktionen sind Funktionen wie z.B. e^x, d.h. die Variable steht in der Potenz, nicht wie hier in der Basis.
Ein Polynom ist eine ganzrationale Funktion mit dem Nenner 1, eine ganzrationale Funktion ist genau dann ein Polynom wenn ihr Nenner 1 ist. Ganzrationale Funktionen sind Funktionen, bei denen sowohl im Nenner wie im Zähler Polynome mit ganzzahligen Koeffizienten stehen.
1.: "Eine ganzrationale Funktion ist eine Verknüpfungen aus mehreren Potenzfunktionen, wobei der Exponent natürlich sein muss. Bis hier richtig? "
Nein. Es ist eine Summe von Potenzfunktionen mit natürlichem Exponenten. Keine Verknüpfung/Verkettung.
" jede nach rechts verschobene potenzfunktion ist keine potenzfunktion mehr, sondern ganzrational."
Das es keine Potenzfunktion mehr ist, ist richtig. Das sie automatisch ganzrational wird nicht. Das würde nur im Spezialfall natürlicher Exponenten gelten.
"Und ist nicht jede ganzrationale Funktion eine Potenzfunktion?"
Nö, es kann auch eine Summe mehrerer Potenzfunktionen sein. Z.b. x^2+x.
" Ist die Funktion x^n nur eine Potenzfunktion oder auch eine ganzrationale Funktion?"
Wenn n eine natürliche Zahl ist, dann ist sie auch eine ganzrationale Funktion.
Ich würde behaupten, das Buch versteht unter Potenzfunktionen x^n für natürliche n, also wäre x^-1 nach dieser Definition keine Potenzfunktion, da -1 keine natürliche Zahl ist.
Aber du hast völlig Recht, eigentlich ist eine Potenzfunktion für beliebiges n definiert und nicht nur für natürliches. Wie immer ist Schulmathe nicht ganz gleichzusetzen mit einfach nur Mathe. ;)
Da muss ich ausnahmsweise widersprechen, wenn die Variable im Exponent steht, dann nennt man die Funktion eine Exponentialfunktion, bei einer Potenzfunktion steht die Variable tatsächlich unten in der Basis. ;)