Frage von Amandine123, 35

Lokale Änderungsrate berechnen?

also angegeben ist die funktion : f(x)=3/x und x0=2 ich habe jzt gerechnet : f(x0+h)-f(x0) / h = ( (3 / 2+h) - (3+h / 2+h) )/( h) = (h/ 2+h) / h = ? wie komme ich da weiter? Kann mir jmd helfen?

Expertenantwort
von Ellejolka, Community-Experte für Mathe, 11

3/(2+h) ist richtig;

aber den 2. Term bei dir verstehe ich nicht;

f(xo) ist doch 3/2

also hast du:

(3/(2+h) - 3/2) / h   dann auf Hauptnenner bringen

(6-3(2+h))/(h(4+2h)  Klammern lösen

(6-6-3h) / h(4+2h)    jetzt h kürzen, ergibt:

-3/(4+2h)    jetzt lim h→0

Lösung dann

-3/4

Kommentar von Amandine123 ,

ja dachte ich kann ja bei 3/2 bei zähler und nenner ein +h hinzufügen weil ja gleiches durch gleiches 1 ergibt und dass ich dann dadurch auf einen gleichen zähler komm war aber falsch. Danke!

Antwort
von poseidon42, 18

Zunächst ziehen wir die 3 raus und wir betrachten nur noch:

g(x) = 1/x

wir schreiben:

(g(x + h) - g(x))/h

Wir betrachten jetzt nur mal den Zähler isoliert:

1/(x + h) - 1/x

Wir bringen beide Brüche auf den gleichen Nenner indem wir erweitern und erhalten:

1/(x + h) - 1/x = x/((x + h)*x) - (x + h)/(x*(x + h))

= (x - x - h)/(x*(x + h)) = -h/(x*(x+h))

Einsetzen in den anfänglichen Ausdruck liefert dann:


(g(x + h) - g(x))/h =  (-h/(x*(x+h)))/h = -1/(x*(x+h)) --> -1/x²

für h --> 0

Und damit folgt für x aus IR\{0}:

f´(x) = 3*g´(x) = 3*(-1/x²) = -3/x²

Kommentar von Amandine123 ,

danke aber so hab ich das nicht gelernt deswegen hab ich da sjzt nicht gaanz verstanden.. also die formel ist doch f(x) = 3/x und dann formst du das glaub ich um zu 1/x +3 oder? weil die 3 muss ja auch noch irgwo sein ? das mit dem erweitern und so keeine ahnubg was du da gemacht hast kannst du das nochmal genauer erklären? und da wo du das wieder einsetzt ist mir hzt auch nicht so klar sorry ich mein kürzt du da aus einem bruch? das geht doch gar nicht oder? und das ergebnis macht für mich auch nicht viel sinn weil man da ja keine zahl herausbekommt wie beabsichtigt (änderungsrate im punkt x=2 sobdern eine funktion? ) sorry kannst du da snochmal genauer erklären?

Kommentar von poseidon42 ,

Ok du musst einfach folgendes Beachten:

f(x) = 3/x

f(x+h) = 3/(x+h)

--> f(x+h) - f(x) = 3/(x+h) - 3/x

Wir sehen die 3 ist als Faktor in beiden Summanden enthalten,

(ähnlich wie a*z + a*b = a*(z + b)

wir klammern daher die 3 aus:

--> f(x+h) - f(x) = 3/(x+h) - 3/x = 3*( 1/(x + h) - 1/x)

Nun haben wir dort eine Summe der Form:

a/b + c/d  dort stehen.

Da ja offensichtlich gilt:

b/b = d/d = 1

können wir also schreiben:

a/b + c/d = a/b*1 + c/d*1 = a/b*(d/d) + c/d*(b/b)

Wir erhalten also:

= (a*d)/(b*d) + (c*b)/(d*b)

Da beide Brüche nun den selben Nenner haben können wir also die beiden addieren und erhalten:

= ( a*d + c*b)/(b*d)

Genauso verhält es sich also hier und wir schreiben:

3*( 1/(x + h) - 1/x) = 3*(1/(x+h) * 1 - 1/x * 1)

= 3*(1/(x + h)*(x/x) - 1/x *((x+h)/(x+h)) )

= 3*(x/(x*(x+h)) - (x+h)/(x*(x+h))

= 3*(x - (x + h))/(x*(x+h))

= 3*(-h)/(x*(x+h))

So nun rechnen wir ja:

(f(x+h) - f(x))/h

und damit:

(f(x+h) - f(x))/h = (3*(-h)/(x*(x+h)))/h

= -3/(x*(x+h))

wobei für h --> 0 folgt:

= -3/x²

und damit also:

f´(x) = -3/x²

Kommentar von Amandine123 ,

und kann man nicht auch an meiner rechnung ansetzten? also ist das ganz falsch oder stimmt das bis da hin?

Kommentar von Amandine123 ,

*die funktion ist doch

Kommentar von Amandine123 ,

ok danke das kürzen und erweitern hab ich jetzt verstanden nur den letzten schritt wo du geschrieben hast: “und damit: ... “ wie kommst du da auf das ergebnis kommst.. außerdem ist dass ja jzt nicht die steigung in dem punkt sondern die funktion von der ableitung die du da ausgerechnet hast oder?

Kommentar von Amandine123 ,

außerdem könnte man die doch auch einfaxh durch ableiten herausfinden soweit ich weiß?

Kommentar von poseidon42 ,

Zu: "ok danke das kürzen und erweitern hab ich jetzt verstanden nur den
letzten schritt wo du geschrieben hast: “und damit: ... “ wie kommst du
da auf das ergebnis kommst.."

Betrachte einen Bruch der Form:

((a*c)/b)/c

Es gilt die Rechenregel:

(a/b)/(c/d) = (a/b)*(d/c)

("Einen Bruch durch einen Bruch zu dividieren heißt mit dem Kehrbruch zu multiplizieren")

Da wir c umschreiben können zu:

c = c/1

Folgt also in dem Beispiel:

((a*c)/b)/c = ((a*c)/b)/(c/1)

Rechenregel anwenden und mit dem Kehrbruch von c/1 multiplizieren:

= ((a*c)/b) *(1/c) = ((a*c)/(b*c))

Kürzen in Zähler und Nenner liefert dann:

= a/b

Zu: "
außerdem ist dass ja jzt nicht die steigung in dem punkt sondern die
funktion von der ableitung die du da ausgerechnet hast oder? "

Ja das hast du richtig erkannt, daher musst du für die Steigung nur noch den x-Wert einsetzen an der Stelle für die du die Steigung wissen möchtest.

Zu: "
außerdem könnte man die doch auch einfaxh durch ableiten herausfinden soweit ich weiß? "

Das ist korrekt, nach der Ableitungsregel für Polynome gilt:

f(x) = 3/x  = 3*x^(-1)

--> f´(x) = 3*(-1)*x^(-1 - 1= = -3*x^(-2) = -3/x²

Es erschien nur so als ob du die Ableitungsregel noch nicht kennen würdest, daher die manuelle Berchnung (Ableitung).

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