Frage von Immova, 95

Logarithmus von Pi?

Guten Tag zusammen,

leider komme ich bei folgender Aufgabe nicht weiter und hoffe hier auf eure Hilfe. Die Lösung lässt sich durch einen Taschenrechner schnell ermitteln, ich suche allerdings den Lösungsweg.

Gesucht wird der Wert x des folgenden Logarithmus zur Basis pi:

x = log(pi)22,45915772

Wie gehe ich hier vor, d. h. ohne zur Hilfenahme eines Taschenrechners? Wie ist der Rechenweg darzustellen? Als Ergebnis sollte die eulersche Zahl herauskommen.

Vielen lieben Dank im Voraus für Eure Hilfe.

Expertenantwort
von DepravedGirl, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 69

x = log _ pi (22.45915772)

Du kannst Basen ineinander umrechnen, das geht mit dieser Formel, mit der du eine Basis in den logarithmus naturalis umrechnen kannst -->

log _ a (b) = ln (b) / ln (a)

a = pi

b = 22.45915772

log _ pi (22.45915772) = ln (22.45915772) / ln(pi)

x = e

e = Eulersche Zahl = 2.718281828...

In der "Vor-dem-Taschenrechner - Ära" hat man Logarithmen mit Tabellenwerken, also Büchern, berechnet.

Wie man diese Tabellenwerke in früheren Zeiten aufgestellt hat, das weiß ich jedoch nicht, wahrscheinlich hat man eine Reihenentwicklung gekannt und dann diese Reihenentwicklung ausgerechnet und in Tabellenwerken verewigt.

Kommentar von Volens ,

Die Log-Umrechnung log_a(b) funktioniert mit jedem Logarithmus. Das ist schon eine große Hilfe beim Umrechnen.
Die Logaritmentafeln waren im Allgemeinen fünfstellig, die für Schulen gar nur vierstellig (Mann, was haben wir interpoliert !!), das ist auch mit herkömmlichen Mitteln relativ einfach zu bewerkstelligen.
In den Logarithmentafeln standen übrigens auch eine Menge anderer Konstanten, die mit dem Logarithmieren gar nichts zu tun hatten. Meist war die Logarithmentafel das einzig zugelassene Hilfsmittel bei Arbeiten - oder aber der noch etwas ungenauere Rechenschieber. Aber dann hatte man seine Formeln im Kopf zu haben!

Expertenantwort
von hypergerd, Community-Experte für Mathematik, 33

Wie kommst Du darauf, dass log(22.45915772)/log(Pi) 

identisch mit e sein soll?

Da liegen unendlich viele andere Konstanten noch dazwischen wie:

2.718281828522793801055485...=log(22.45915772)/log(Pi)
...
2.718281828520000000000000000=271828182852/10^11
2.718281828510000000000000000=271828182851/10^11
2.718281828500000000000000000=5436563657/2000000000
2.718281828464057327381671867...=(41Pi!)/35-57/70+1/Pi-(58Pi)/35
2.718281828463845899865822731...=3869447/1423490
2.718281828459045235552693752...=1587352577*Pi/1834546787
2.718281828459045235361976...=(71794sin(1)-7283)/(3(27269cos(2)+17863))
2.718281828459045235361110...=(174845log(2)+262199)/(85427log(3)+47191)
2.7182818284590452353609957339...=(212105sqrt(3)+119934)/(156510sqrt(2)-42067)
noch über 300 andere Funktionen...... und dann erst:
2.718281828459045235360287471352662...=e=log(A059850)/log(Pi)

Vermutlich lautet die Aufgabe

log(Pi^x)/log(Pi) = x

und wenn x=e, dann kommt als Ergebnis wieder e raus!

Mit den ungenauen Billig-Taschenrechnern (oft nicht mal 10 richtige Nachkommastellen) kann man aus einer Dezimalzahl nicht auf die wirkliche Konstante schließen!

Expertenantwort
von PWolff, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 47

Weißt du, wie man generell Logarithmen zu beliebigen Basen (größer als 0 und ungleich 1) berechnet?

Wie soll das gehen ohne Taschenrechner? Habt ihr Logarithmentafeln oder was? Oder sollt ihr etwa von Hand logarithmieren?

Antwort
von iokii, 39

Du gibst es in einen Taschenrechner ein, eine andere Möglichkeit gibt es nicht.

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