Linearisierung einer DGL mit Totzeit-Funktion?
Hi,
ich möchte gerade eine DGL linearisieren (Siehe Bild) und weiß nicht so genau, wie man mit dem y(t-T0), also der Totzeit für y(t), umgehen soll. Meine Vermutung und dementsprechende Rechnung habe ich unten auch angeführt, allerdings unterscheidet sich meine Lösung ganz am Schluss im Vergleich zu der mir gegebenen Musterlösung lediglich darin, dass da irgendwie noch eine 1 auf der rechten Seite draufaddiert wurde. Wie also muss man hier genau vorgehen?
Da ich dazu im Netz leider nichts gefunden habe, wollte ich mal das Forum fragen :)
Danke im Voraus.
.
1 Antwort
Normalerweise wird die Totzeit durch eine Pade Näherung (Glied. 3. Ordnung) approximiert:
https://de.wikipedia.org/wiki/Totzeit_(Regelungstechnik)#Modelle_von_Regelstrecken_mit_Ersatztotzeit
Ob das das ist, was ihr machen sollt, weiß ich aber nicht. Ich bezweifle das aber. Man kann auch ein TP Glied zweiter Ordnung verwenden - so habe ich es damals gelernt.
Leider werde ich aus deinem Gekrakel nicht schlau.
Insbesondere sehe ich nicht, was die Lösung sein soll und was hier dein Lösungsvorschlag ist.
Ich würde sagen in erster Näherung ist:
Das ist aber natürlich trivial und billig und nur eine sehr grobe Näherung.
ja, die Ableitung nach t. Ich wüsste nicht, wo da ein term 1 entstünde. Immerhin wird die Totzeit ja mit a multipliziert - wie soll da eine 1 übrig bleiben. Wenn a=0 wäre, müsste das ja wegfallen und nicht 1 sein. Was soll denn das Ergebnis sein?
Auf dem Bild ganz unten steht meine finale Lösung, und darunter bei "Laut Lösung aber:" ist der term genau gleich, außer dass auf der rechten Seite noch ein +1 auftritt
Und die Rechnung bis dahin für den Arbeitspunkt bei y0, ypunkt0, yzweipunkt0, u0 etc
ja, nur wenn in der ursprünglichen Gleichung die Totzeit mit a eingeht, kann dieses a am ende nicht verschwinden...Da stimmt also was nicht oder du verschweigst etwas.
Vor dem gleichzeichen in meiner Lösung steht das a am Delta y(t- T0)
ja, nur hast du die Totzeit einfach übernommen, aber nicht linearisiert. Das steht ja noch immer die um T0 verschobenbe Funktion. Den Vorspann hab ich mir nicht angesehen, kann sein dass das stimmt oder auch nicht.
Ich habe es im Schritt bei dem 4ten Ableitungsteil gemacht, ich habe es zu -a*Delta y (t-T0) linearisiert.
Habe ich es falsch gemacht?
nein, nur schreibst du die Totzeit ja immer noch als Totzeit ;-) Somit hast du die DG noch nicht linerisiert
ich weiß ehrlich gesagt nicht, wie man hier vorgehen soll. Vielleicht sollst du es auch bloß so stehen lassen....
Hmm ja ich lass es mal jetzt so stehen. Danke für eure Hilfe
Kurze Bemerkung: Die Pade-Approximation braucht man aber doch nur bei der technischen Realisierung - oder höchstens bei der Simulation eines systems mit Totzeit. Hier gehts doch aber um pure Mathematik - oder hab ich das falsch aufgefasst?
Natürlich geb ich Dir recht, dass das "Gekrakel" so abschreckt, dass ich gar nicht die Motivation finde, mit dem Lesen überhaupt anzufangen.
ja, ich weiß. ich persönlich würde die Totzeit durch ein System 2. Ordnung realisieren. Das ist aber nicht gefragt. Was man sonst tun soll, ist mir aber nicht klar. Wie soll man die Totzeit denn linearisieren? Das geht ja kaum. Der Ansatz
y(t) = x(t)-T*x'(t) ist ja kaum sinnvoll...bzw. nur, wenn man ein Signal x hat, dass sich zeitlich nur schwach ändert. Sprung darf da kener drin sein, denn sonst erhält man Unsinn.
Danke für die Antwort, aber was genau wäre hier das y'? Die Ableitung von y(t) nach t? Bzw wie enstünde dadurch ein term 1 im linearisiertem Term?