Lin. Algebra - Basen und Unterräume?

Hallo! Ich habe einen endl. dimensionalen Vektorraum und eine Basis gegeben. Außerdem eine lineare Abbildung V->V. Kann ich aus der Basis in jedem Fall ein System an Vektoren v1,...,vr auswählen, sodass sie eine Basis des Kerns der Abbildung bilden?

Answer 1

[mihisu]

Nein, nicht in jedem Fall. Es kann sogar sein, das kein einziger der Basisvektoren der betrachteten Basis von V im Kern der Abbildung liegt.

============

Beispiel:

Betrachte den Vektorraum

$V=\mathbb{R}^2$

und die Basis

$B=\left\lbrace \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\right\rbrace$

dieses Vektorraums. Betrachte außerdem die lineare Abbildung

$\phi : \ V\to V,\ \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\mapsto \begin{pmatrix}x+y\\x+y\end{pmatrix}\text{.}$

Weder (1; 0) noch (0; 1) liegen im Kern dieser Abbildung, da

$\phi\left(\begin{pmatrix} 1\\0\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix} 1\\1\end{pmatrix}\ne\begin{pmatrix} 0\\0\end{pmatrix}$

und

$\phi\left(\begin{pmatrix} 0\\1\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix} 1\\1\end{pmatrix}\ne\begin{pmatrix} 0\\0\end{pmatrix}$

ist. Dementsprechend kann natürlich auch keiner der beiden Vektoren (1; 0) oder (0; 1) in der Basis der Kerns der Abbildung ϕ liegen.

Der Kern der Abbildung ϕ wäre übrigens

$\ker\left(\phi\right)=\left\lbrace\, \begin{pmatrix}r\\-r\end{pmatrix}\,\middle| \,r\in\mathbb{R}\,\right\rbrace$

und man könnte beispielsweise

$\left\lbrace \begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}\right\rbrace$

als Basis der Kerns wählen.

------------

Hätte man bei dem Beispiel stattdessen beispielsweise

$\left\lbrace \begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\right\rbrace$

als Basis des Vektorraums V betrachtet, so hätte man (1; -1) davon als Basisvektor für den Kern verwenden können.

Wie du siehst, kommt es also darauf an, welche Basis des Vektorraums V man betrachtet, und ob diese Basisvektoren dann im Kern der betrachten Abbildung liegen.

Comments

[LoverOfPi]

Mhm, das stimmt, aber erschwert leider eine meiner Übungsaufgaben :D

Answer 2

[eterneladam]

Ich denke nicht. Nehme V = R^2, f(e1) = e2, f(e2) = e2. Es ist f(e1-e2) = 0, der Kern wird von e1-e2 aufgespannt, aber weder von e1 noch von e2.