Laplacetransformation?
Hallo,
ich habe hier eine Frage, wo ich nicht weiß, wie man vorgehen soll. Hier verstehe ich nicht, wie man eine Laplace-Transformation mit einer Schleife durchführen soll. Diese Frage sieht so aus:
Für jede Hilfe wäre ich im Voraus danbar.
3 Antworten
Zwei Alternativen:
1) Funktionen in die Transformationsbeziehung einsetzen und dabei die jeweils relevanten Zeitgrenzen anwenden.
2.) Einfacher: Korrespondenztabellen ^benutzen".
Dabei kann man dann für die zeitlichen Begrenzungen die Regeln für die Verschiebung im Zeitbereich anwenden, wobei man für den e-Funktions-Ausdruck dann e^(a+b)=(e^a) * (e^b) schreiben kann.
Was meinst Du mit "aussehen"? Die komplette Lösung?
Frage: Kennst/hast Du diese Korrespondenztabellen und kannst damit umgehen?
Etwas Eigen-Initiative erwarte ich schon....
Du kannst die Funktion schreiben als
f(t) = exp(4t + 2)*(u(t) - u(t-pi)) + sin(t)*u(t-pi)
wobei u(t) die Sprungfunktion ist. Für die direkte Anwendung der Korrespondenztabellen ließe sich sogar noch expliziter schreiben:
f(t) = exp(4t + 2)*u(t) - exp(4(t - pi) + 2 + 4pi)*u(t-pi)) + sin((t - pi) + pi)*u(t-pi)
Verwende:
exp(4t + 2) = exp(4t)*exp(2)
exp(4(t - pi) + 2 + 4pi) = exp(4(t - pi))*exp(2 + 4pi)
sin((t - pi) + pi) = - sin(t - pi)
Es folgt damit:
f(t) = exp(2)*exp(4t)*u(t)
- exp(2 + 4pi)*exp(4(t - pi))*u(t-pi))
-sin(t - pi)*u(t-pi)
Nun lassen sich die Transformationen leicht aus Tabellen ablesen ... .
Sagt z.B. bei "exp(2 + 4pi)*exp(4(t - pi))*u(t-pi))" das Multiplikationszeichen, dass es einzelne Multiplikationsteile sin, wie exp(2 + 4pi) * exp(4(t - pi)) * u(t-pi)) oder dass es alles hoch e genommen wird? Das mit dem Klammern verwirrt mich leider ein wenig.
Da hab ich wohl eine Klammer zu viel gesetzt, wie du richtig erkannt hast. Es sollte natürlich ... exp(4(t - pi))*exp(2 + 4pi)*u(t-pi) ... heißen und nicht ... exp(4(t - pi))*exp(2 + 4pi)*u(t-pi)) ... .
Lautet die Laplacetransformierte laut der Tabelle: ((e^2)/s)*(1/(s-4))*u(t) - (((e^2)*(e^4π))/s)*(1/((s-4)*e^(4π)))*u(t-π) - (-1/((s^2)+1))*u(t-π) ?
Um es einfach zu halten für den Vergleich schreibe ich hier nur die Transformation der einzelnen Summanden auf:
(i) L{exp(4t)*u(t)} = exp(2)/(s + 4)
(ii) L{exp(4(t - pi))*u(t-pi)} = exp(-s*pi)/(s + 4)
(iii) L{sin(t - pi)*u(t-pi)} = exp(-s*pi)/(s^2 + 1)
Verwendet habe ich dabei folgende Transformationen und Eigenschaften:
(i) L{exp(at)*u(t)} = 1/(s + a)
(ii) L{sin(t)*u(t)} = 1/(s² + 1)
(iii) L{f(t - T)} = L{f(t)}*exp(-s*T)
(iv)
L{a1*f1(t) +...+ an*fn(t)} = a1*L{f1(t)} +...+an*L{fn(t)}
Ich bemerke bei deinem Lösungsversuch, dass du noch kein tieferes Verständnis für die Transformation entwickelt hast. Deshalb hier nocheinmal das Konzept kurz zusammengefasst (ich beziehe mich hier auf die einseitige Laplace-Transformation für "signale" und "funktion" die für t < 0 verschwienden).
1.) Die Laplace-Transformation eines reellen Signals f(t) (im Zeitbereich - t) liefert eine komplexwertige Funktion F(s) (im Bildbereich - s).
2.) Die Laplace-Transformation ist extrem nützlich weil:
-> Verallgemeinerung der Fourier-Transformation (wir können mehr Signale transformieren!)
-> Unglaublich mächtiges Werkzeug wenn es um lineare Differentialgleichungen geht, da Differentiation im Zeitbereich zu einer Multiplikation mit s wird und "komplexe" Faltungen im Zeitbereich zu einfachen algebraischen Multiplikationen im s-Bereich werden. Es erlaubt die Bestimmung von Lösungen, die Analyse der Stabilität und weiterer Eigenschaften ... .
Schau dir vielleicht auch mal folgende Materialien zu dem Thema an:
https://www.khanacademy.org/math/differential-equations/laplace-transform
Persönlich habe ich folgende Bücher als besonders hilfreich empfungen:
"A mathematical introduction to control theory, 2nd Edition" von Shlomo Engelberg
"Regelungstechnik 1" von Jan Lunze
Wobei das letzte Buch auf Deutsch und die übrigen Links etc. auf Englisch sind, falls das für dich ein Problem darstellt.
Was meinst du denn mit "Schleife"? Setze die Funktion doch in die Definition der Laplace-Transformierten ein und berechne jeweils das Integral (einmal für t<pi und einmal für t>pi). Einziges Problem, das ich sehe, ist dass f auf ganz IR definiert sein soll, aber für t<0 kein Funktionsterm angegeben ist.
Die Laplace-Transformierte von sin(t) ist 1/((s^2)+1) und von e^(4t+2) ist sie (e^2)/(s-4). Soll ich für t>π jetzt die Laplace-Transformierte von sin(π) berechnen und das gleiche darüber tun?
Verstehe nicht so ganz, wie du den zweiten Satz meinst. Aber vielleicht hilft das hier weiter: https://matheraum.de/forum/HEAVISIDE-FUnktion/t886045
Muss ich jetzt erst für beide Teile die Heaviside-Funktion anwenden und dann Laplace-transformieren? Denn dann die H-Fkt. für die e-Funktion 1 und deren Laplace-Fkt. = 1/s.
Wie würde es in meiner Aufgabe z.B. aussehen?