Kugel Ableitung
Ich hab mich immer gefragt ob es einfach nur zufall ist dass die Formel des Flächeninhalts einer Kugel die Ableitung der Formel des Volumens ist, oder ob es da einen zusammenhang gibt
2 Antworten
Ich kann es jedenfalls in einen Zusammenhang damit bringen, dass das bei einem Kreis (eine Dimension "tiefer") auch so ist. Die folgende abstrakt gehaltene Überlegung zeigt, dass das anscheinend auch für "Hyperkugeln" (der Dimension 4 oder höher gilt).
- Sei v(r) = r² π eine Funktion, die einem Kreis mit Radius r seinen Flächeninhalt zuweist. Dann
- ist v'(r) = 2 r π eine Funktion, die einem Kreis mit Radius r seinen Umfang zuweist.
Eine Funktion, die einer Kugel mit Radius r ihr Volumen zuweist, ist:
V(r) = ∫ v(t) dt, Grenzen t = -r bis t = +r
= W(r) - W(-r), wobei W(t) eine (beliebige) Stammfunktion von v(t) ist.
Eine Funktion, die einer Kugel mit Radius r ihre Oberfläche zuweist, ist:
A(r) = ∫ v'(t) dt, Grenzen t = -r bis t = +r
= v(r) - v(-r)
= W'(r) - W'(-r) = V'(r)
Wenn du nun V(r) (bzw. A(r) = V'(r)) als ein "neues" v(r) (bzw. v'(r)) auffasst, zeigt die gleiche Überlegung (als Schluss einer vollständigen Induktion), dass das auch für die genannten Hyperkugel gilt.
Also, das schreibe ich jetzt nur ins Blaue hinein. Ich denke eher an einen Zufall, weil die Ableitung nicht mehr funktioniert, wenn Du die Formel mit dem Durchmesser ausdrückst.