Kostenfunktion berechnen(willy)?
An Willy dem top Helfer :)
Wie gehe ich hier mit der Rechnung vor ? Die Tabelle irritiert mich immer ... daaaankkeeee Es müsste k(x)=5x+12 sein !?
4 Antworten
Du hast eine Wertetabelle gegeben und sollst hieraus die Funktionsgleichung der Kostenfunktion f(x) = K(x) herausfinden. Da nicht der Funktionstyp bekannt ist kann man graphisch oder numerisch lösen. Graphisch wäre schlichtes Auftragen im kartesischen Koordinatensystem und aus dem Verlauf den Funktionstyp ableiten.
Funktionstypen sind z.B. lineare, quadratische Funktion. Die numerische Lösung, d.h. Rechnen, sieht die Annahme eines Funktionstyps vor, sodass ich wie folgt den einfachsten Funktionstyp der linearen Funktion annehme.
Die sog. Normalform der linearen Funktionsgleichung lautet:
f(x) = mx + n
Wenn nun eine lineare Funktion vorliegen sollte, so müsse der Anstieg
m = const.
sein. Also berechne ich zweimal m über die sog. Zwei-Punkt-Gleichung und vergleiche sie miteinander. Die Gleichung lautet angepasst auf deine Aufgabe:
m = [K(x2) - K(x1)] / [x(2) - x(1)]
Die eckigen Klammern dienen als Trennung wie die Klammerrechnung. Zweimal hintereinander runde Klammern sieht einfach nicht gut aus.
Da hier die glückliche Situation ist, dass du sehr viele Werte gegeben hast, kann man zwei frei wählen. Ich wähle z.B. bei der Berechnung des ersten Anstiegs m(A) die Wertepaare
K(10) = 62
K(18) = 102
und es folgt:
m(A) = [K(18) - K(10)] / [x(2) - x(1)]
m(A) = (102 - 62) / (18 - 10)
m(A) = 40 / 8 = 5
Jetzt muss ich zwei andere Punkte wählen z.B.
K(20) = 112
K(40) = 212
Und verfahre analog für m(B):
m(B) = [K(40) - K(20)] / [x(4) - x(3)]
m(B) = (212 - 112) / (40 - 20)
m(B) = 5
Man sieht, m(A) und m(B) unterscheiden sich nicht. Dies bedeutet, die Bedingung die für den Funktionstyp lineare Funktion und der entsprechenden Normalform
f(x) = mx + n
ist mit m(A) = m(B) = 5 = const.
erfüllt. Es handelt sich also um eine lineare Funktion mit den Anstieg m = 5. Damit haben wir:
K(x) = 5x + n
Jetzt ist nur noch die Suche nach dem Schnittpunkt n mit der y-Achse der linearen Funktion. Dafür nimmst du ein beliebiges Wertepaar oder Punkt und setzt sie in die Funktionsgleichung ein, die vorab nach n umgestellt ist. Also folgt:
n = K(x) - 5x
Und mit dem Punkt K(20) = 112 folgt:
n = K(20) - 5 * 20 = 112 - 5 * 20 = 112 - 100
n = 12
Und damit:
K(x) = 5x + 12
Hallo,
Lösung siehe bei HeniH.
Noch etwas zur Ergänzung:
Um zu prüfen, ob die Werte überhaupt alle auf einer Geraden liegen, kannst Du sie zunächst in ein Koordinatensystem einzeichnen.
Dann siehst Du auch, ob sie genau auf einer Geraden liegen, wie es hier der Fall ist, oder ob sie ungefähr auf einer geraden Linie liegen; dann müßtest Du nach den schon beschriebenen Methoden eine Regressionsgerade suchen, die möglichst nah an den Werten liegt; oder ob die Werte vielleicht eine Kurve beschreiben, so daß sie eher einer Parabel glichen.
In diesem Fall liegen tatsächlich alle genau auf einer Geraden, die Du entweder, wie bei HeniH beschrieben, über ein Gleichungssystem finden kannst, oder über die Steigung.
Allgemeine Geradenform lautet y=mx+b, wobei m die Steigung ist und b die Stelle, an der die y-Achse geschnitten wird, also der Funktionswert, den Du bekommst, wenn Du für x eine Null einsetzt.
Da Du den Wert für x=0 nicht gegeben hast, mußt Du zunächst m bestimmen.
Dazu suchst Du Dir zwei beliebige Punkte, z.B. (10|62) und (12|72).
Nun ziehst Du den y-Wert des ersten von dem des zweiten ab: 72-62=10, danach den x-Wert des ersten vom x-Wert des zweiten: 12-10=2, und teilst die Differenz der y-Werte durch die Differenz der x-Werte:
10/2=5
Diese 5 ist die Steigung m, also der Tangens des Winkels, den die Gerade mit der x-Achse bildet.
y=5x+b
Um b zu bestimmen, setzt Du für x und y jetzt die Werte irgendeines Punktes ein, z.B. (12|72) und löst nach b auf:
5*12+b=72
60+b=72
b=72-60=12
Die Gleichung lautet also y=5x+12 und für y kannst Du natürlich auch k(x) schreiben.
Anhand der Gleichung kannst Du der Menge x die Menge der Kosten y bzw. k(x) zuordnen.
Diese Methode wie auch die von HeniH funktionieren aber nur dann, wenn alle Punkte wirklich auf einer Geraden liegen. Zur Vorsicht noch einmal alle Punkte in die Geradengleichung einsetzen und prüfen, ob alle Punkte diese Gleichung erfüllen.
Herzliche Grüße,
Willy
Lineare Funktion :
y = ax + b
von der ersten 2 schon:
10a + b = 62
12a + b = 72
Lösen:
10a + b = 62 |*(-1)
12a + b = 72
-10a - b = -62
12a + b = 72
Addieren:
2a = 10 | :2
a = 5
in die erste einsetzen:
10 * 5 + b = 62
50 + b = 62 | -50
b = 12
demnach:
y = 5x + 12
Kannst diese Werte mit irgendeiner anderen Spalte prüfen.
LG,
Heni
Ja, ist richtig.