3 Antworten
Kannst du dir eigentlich relativ schnell herleiten:
Es gilt:
Für I gilt aus dem ohmschen Gesetz und den Kirchhoffschen Maschenregeln:
Einsetzen liefert hier die Differentialgleichung:
Die Lösung dieser Differentialgleichung ist nun:
wovon man sich auch überzeugen kann wenn man diese Lösung in die Diff-Gleichung einsetzt:
und damit:
womit gezeigt ist, dass diese Lösung stimmt.
Allgemein kannst du dir das so vorstellen, dass aufgrund der Spannung am Kondensator der Ladestrom des Kondensators kontinuierlich kleiner wird weil der Spannungsabfall am Widerstand immer kleiner wird. Damit nimmt die Geschwindigkeit mit welcher sich der Kondensator auflädt mit der Zeit ab.
Der Ladestrom ist proportional zur Differenzspannung zwischen Spannungsquelle und Kondensator.
Der Ladestrom ist die Zeitableitung der Kondensatorladung.
Die Kondensatorspannung ist proportional der Kondensatorladung.
Damit ist die Zeitableitung der Kondensatorspannung proportional zur Differenz von Ladespannung und Kondensatorspannung.
Exponentialfunktionen sind typisch für den Fall, dass die Ableitung einer Funktion proportional dem Funktionswert ist; umgekehrt ist bei Exponentialfunktionen die Ableitung proportional dem Funktionswert. (Einschließlich Grenzfall der Nullfunktion.)
Das liegt daran, dass der Kondensator am Anfang noch ungeladen ist und darum keine Gegenspannung anliegt. Zu Anfang wird der leere Kondensator mit vielleicht 10V geladen. Stellen wir uns einen Ladewiderstand von vielleicht 10ohm vor. Dann fließt ein Ladestrom von 1A. Stellen wir uns weiter einen Kondensator von 100mF vor. Das ist ein riesiger Pott. Nach 100ms sind etwa 100mAs in ihn hineingeflossen. Das erhöht seine eigene Spannung auf 1V.
Nun wird es spannend. Die Spannungsdifferenz zwischen Batterie und dem Kondensator beträgt nur noch 9V. Somit sinkt der Ladestrom auf 9V/10ohm auf 0,9A
Nun wird im nächsten Zeitintervall von 100ms nur noch mit 0,9A geladen. Die Zusatzladung beträgt demnach nur noch 90mAs. Zusammen mit der bereits eingebrachten Ladung hat der Kondensator nun eine Ladung von 190mAs. Seine Spannung beträgt jetzt 190mAs/100mF = 1,9V.
Spannungsdifferenz beträgt nun nur von 8,1V
Neuer Ladestrom 8,1V / 10ohm = 0,81A
Drittes 100ms Zeitinterval. Es wird 100ms mit 0,81A geladen
Gesamtladung = 190mAs + 81mAs = 271mAs
Kondensatorspannung = 270mAs/100mF = 2,7V
Du siehts, dass die Ladespannung nicht nach dem Schema 1V, 2V, 3V steigt, sondern
nach der Schema 1V; 1,9V ; 2,7V. Die Ladekurve wird zum Schluss immer flacher.
Diese in Intervallen gedachte Erklärung ist natürlich etwas holprig und soll nur eine Hinführung zum Verständnis sein. Sie kommt rechentechnisch mit den vier Grundrechenarten aus. Wenn man es genau wissen will muss man in Differenzialrechnung einsteigen. Aus dieser Ecke kommt auch der Begriff "exponentielle Sättigungskurve". Wenn der Kondensator nämlich satt ist und beispielsweise 9,9V Spannung erreicht hat, dann bleiben nur noch 0,1V Spannungsdifferenz und in diesem Beispiel 10mA Ladestrom um ihn qualvoll noch satter zu machen.