Komplexe Additionstheoreme?
Beweisen sie die Trigonometrische Formel cos(3x) = cos x - 4 sin2 x cos x , indem sie
a) die linke Seite als den Realteil einer komplexen Exponentialfunktion schreiben und anschließend die euler-formel verwenden.
b) die komplexe Darstellung des Sinus und Kosinus auf der rechten Seite einsetzten und ausmultiplizieren,
c) die bekannten reellen Additionstheoreme für Sinus und Kosinus verwenden.
Moin, kann jemand mir bei den Aufgaben helfen oder hätte jemand ein paar Ansätze? Wie ich die c mache, weiß ich schon. Bei a und b bin ich mir unsicher. Bei a) könnte ich vielleicht so vorgehen: (cos(x)+isin(x))^3=cos(3x)+isin(3x) weiter weiß ich leider auch nicht. Eventuell die linke Seite ausmultiplizieren?
Edit: bräuchte bei der b) Hilfe
1 Antwort
Also was bei b) mit kompexer Darstellung des Sinus und Kosinus gemeint sein soll, ist mir unklar.
Aber bei a) bist Du auf dem richtigen Weg: Die linke Seite ausmultipliziert ergibt
cos³(x) + 3i*cos²(x)sin(x) + 3i²*cos(x)sin²(x) + i³*sin³(x)
Da uns nur der Realteil interessiert:
cos³(x) - 3*cos(x)sin²(x)
Nun ist cos³(x) = cos(x)*cos²(x) = cos(x)(1-sin²(x)) = cos(x) - cos(x)sin²(x)
Also der Realteil der linken Seite insgesamt
cos(x) - cos(x)sin²(x) - 3*cos(x)sin²(x) = cos(x) - 4*cos(x)sin²(x)
Dahinter verbirgt sich der binomische Satz. Das ist die Erweiterung der ersten binomischen Formel auf höhere Exponenten.
https://de.wikipedia.org/wiki/Binomischer_Lehrsatz#Beispiele
erstes Beispiel: (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³, dabei ist bei uns a = cos(x) und b = i*sin(x).
(Ich habe die Variablen aus der Wikipedia umbenannt, weil x schon vergeben war.)
Notfalls muss man erst (a + b)² ausmultiplizieren und dann nochmal mit (a + b) multiplizieren, um auf (a + b)³ zu kommen.
Ah okay danke, könntest du noch den letzten Teil erklären, wo du den Realteil der linken Seite gezeigt hast. Müsste da nicht, laut der Aufgabe, cos x - 4sin^2 x cos x stehen. Bei dir ist es ja vertauscht, also die -4 oder sehe ich es falsch.
cos(x) und sin²(x) sind Faktoren einer Multiplikation, die kann man vertauschen.
Bin mit der Aufgabe allerdings nicht fertig oder? Also müsste ja noch die Euler Formel Verwenden.
Hast Du doch schon ;-)
cos(3x) + isin(3x) = e^(i*3x) = e^(ix*3) = (e^(ix))^3 = (cos(x)+isin(x))^3
Weißt du vielleicht, was ich bei b) machen soll?
Bei der b) vermute ich, dass es um
cos(x) = (e^(ix) + e^(-ix)) / 2
sin(x) = (e^(ix) - e^(-ix)) / (2i)
geht. Das soll man wohl in
cos(x) - 4 sin²(x) cos(x)
einsetzen und ausmultiplizieren.
Das wird eine dann wüste Rechnerei, bisher habe ich das nicht hinbekommen.
\frac{ { e }^{ ix } + { e }^{ -ix } }{ 2 } -4 { \left( \frac{ { e }^{ ix } - { e }^{ -ix } }{ 2i } \right) }^{ 2 } \frac{ { e }^{ ix } + { e }^{ -ix } }{ 2 } beim ausmultiplizieren komme ich nicht weiter
Aber hast Recht, man soll es mit der Darstellung machen. Also einsetzen und ausmultiplizieren
Ja, inzwischen. Aber es keinen Spaß gemacht.
Ich setze e^(ix) = p und e^(-ix) = n, um den Schreibaufwand in Grenzen zu halten.
cos(x) = (p + n)/2
sin(x) = (p - n)/(2i)
sin²(x) = -1/4 * (p - n)² = -1/4 * (p² - 2pn + n²)
Wegen pn = 1 gilt
sin²(x) = -1/4 * (p² + n² - 2)
Dann ist
-4sin²(x)cos(x) = (p² + n² - 2) * (p + n) / 2
= (p³ + n²p - 2p + p²n + n³ - 2n)/2
Wegen p²n = p und n²p = n wird daraus (p³ + n³ - p - n)/2
cos(x) - 4sin²(x)cos(x) = (p + n)/2 + (p³ + n³ - p - n)/2 = (p³ + n³)/2
Das ist (e^(i3x) + e^(-i3x)) / 2 = cos(3x)
Eine Scheiß-Aufgabe. Man kann mit komplexen Zahlen viele interessante und nützliche Dinge anrichten, aber das musste jetzt wirklich nicht sein.
Hab's auch schon herausbekommen. War nicht so schön aber naja hahah
oha , hilfreich bewertet von 2 Besuchern . Wie findet man nur solche Fragen ( bzw Antworten ? )
Könntest du nochmal kurz zeigen, wie du die linke Seite ausmultipliziert hast?