Könnt ihr das Rätsel lösen?
Welche Zahlen können eingesetzt werden? Tipp: Es ist immer die gleiche Zahl.
x+x=x*x
Ich löse um 17:35 auf.
Es gibt 2 Lösungen
Das Ergebnis basiert auf 13 Abstimmungen
2 Antworten
Hi,
da 2x = x², kommt nur X = 2 und X = 0 als Lösung in Betracht.
- X = 0: 2x = 0, x² = 0
- X = 1: 2x = 2, x² = 1
- X = 2: 2x = 4, x² = 4
- X = 3: 2x = 6, x² = 9
- X= 4: 2x = 8, x² = 16
- X = 5: 2x = 10, x² = 25
- X = 6: 2x = 12, x² = 36
LG
Hab auch intuitiv erst die 2 genommen, dann nochmal geschaut und gesehen, dass die Null ja auch gehen muss.
Kannst Du dann auch die Gleichung dazu aufschreiben? Und bitte ohne Beistriche, damit man es besser lesen kann?
Denn wenn ich die Gleichung löse, komme ich auf 2. Die Null hat das Problem, dass beim Umformen, durch x dividiert wird, also für Null wäre meine Lösung nach Gleichung-Lösen nicht definiert.
Mit anderen Worten: Mit meiner Umformung komme ich nie auf Null, wenngleich unstrittig ist, dass die Iteration dieses Ergebnis geben muss.
Klar:
x•x = x+x
x² = 2x
x² - 2x = 0
x•(x-2) = 0
Die Lösungen der Gleichungen sind also x = 0 und x = 2. Denn bei X=0 ist der Faktor und damit der gesamte Term Null, bei X=2 ist der Klammerterm und damit auch das gesamte Produkt Null.
Eine Lösung wäre X = 0,
doch nicht x•(x-2) = 0
Das mag mathematisch richtig sein, es ist jedoch ein Ausdruck und keine Gleichungslösung.
Du hast schon gesehen, dass ich Äquivalenzumformungen gemacht habe, oder?
Die Ausgangsgleichung ist x² = 2x. Bringst du das 2x auf die linke Seite, führst also eine Äquivalenzumformung durch, bist du bei x²-2x=0. Da du aus dem Term links nun ein X ausklammern kannst, gilt L = {0 ; 2}. Die Lösungen der Ausgangsgleichung sind also X=0 und X=2.
Bei x•(x-2)=0 handelt es sich also um eine zu x²=2x äquivalente Gleichung (kein Ausdruck = Term). Das ist mathematisch alles korrekt und anders als mathematisch kann bzw. sollte man sich dieser Sache nicht annähern. Ich verstehe nicht, ob du wirklich ein Verständnisproblem hast, oder einfach nur das nonexistente Haar in der Suppe suchst.
Doch, doch, ich habe ein Verständnisproblem, meine Schulzeit ist lange her. Mein Verständnis reicht jedoch bis zum auszuklammernden x.
d.h. verstanden bis zu
x²-2x=0 oder auch •(x-2)=0 iss ja dasselbe.
Doch von dort zu x = 0
kann ich aus mathematisch-formeltechnischer Sicht noch nicht nachvollziehen.
Vom Ergebnis her braucht man ja nicht einmal die Finger, das ist schon klar.
Ah! Danke für deine Erläuterung. Jetzt kann ich dir hoffentlich auch helfen. Sorry, falls meine Antwort vorhin etwas unhöflich klang. Ich war nur etwas irritiert. Aber ich finde es gut, dass du wirklich den Willen hast, das gänzlich nachvollziehen zu können.
Wenn du x•(x-2) = 0 hast, liegt eine Gleichung vor. Ich denke, das ist einleuchtend. Nun steht auf der linken Seite der Gleichung ein Produkt aus x und x-2. Wir suchen die Zahlen, die man einsetzen muss, damit auf der linken Seite der Gleichung ebenfalls Null steht. Es gilt der sogenannte "Satz vom Nullprodukt": Wenn einer der beiden Faktoren - also entweder das in der Klammer oder das vor der Klammer - Null ist, so ist auch sein Produkt Null.
Wenn du für das x Null einsetzt, dann hast du
0•(0-2) = 0
0•(-2) = 0
0 = 0.
Die Gleichung ist also wahr, da auf beiden Seiten Null steht. Damit der zweite Faktor (also x-2) Null wird, muss man fü2 x den Wert 2 einsetzen:
2•(2-2) = 0
2•0 = 0
0 = 0.
Auch diese Aussage ist wahr, da wieder auf beiden Seiten Null steht. Die Lösung ist also 0 und 2. Ist es nun etwas klarer?
Klar ist es schon, doch ist es "ausprobiert" statt "berechnet".
Ich schreibe:
x + x = x * x
2 x = x * x
2 x / x = x
2 = x
Eine eindeutige Lösung, wenn ich nichts übersehen habe. Die Null kommt da natürlich nicht vor, weil ich durch Null nicht dividieren darf.
Allerdings lernte ich einmal in fernen Zeiten: x = 2 gilt als "wahr", wenn ich es so abgeleitet habe.
Es ist evident, dass Null auch wahr ist. Doch wie lautet die "Ausrede", dass nach x = 2 noch weitergerechnet wird?
Die "Ausrede" nennt sich ausklammern. Der "Trick" ist, nicht durch x zu dividieren. Denn sobald x = 0 als eine Lösung funktioniert (und das tut sie, wenn du es so umformst, wie ich das getan habe), ist der Schritt nicht erlaubt. Du darfst dann nicht durch Null teilen, auch wenn das rein hypothetisch ginge. Du würdest nämlich eine Lösung eliminieren.
Demnach unterscheiden sich unsere Lösungen nicht darin, dass meine "ausprobiert" und deine "ausgerechnet" ist, sondern darin, dass ich die Regeln der Mathematik befolge - und du leider nicht.
Ich weiß nicht, inwiefern du dich noch an quadratische Funktionen erinnerst, aber dies veranschaulicht deinen Denkfehler vielleicht ganz gut. Es sei die Funktion f(x) = x² - 2x. Würdest du diese Gleichung mit 0 gleichsetzen, würdest du die Nullstellen ausrechnen (denn du schaust dann, bei welchem x y = 0 gilt). Lässt du dir den Graphen der Funktion von z. B. GeoGebra ausgeben, so erhältst du Schnittstellen mit der x-Achse bei x = 0 und x = 2. Die Nullstellenform der Funktion ist damit f(x) = (x-0)(x-2) = x*(x-2) = x² - 2x. Würdest du einfach durch x teilen, dann hätten wir ja x-2, also eine ganz andere Funktionsform (nämlich linear) - die hat tatsächlich nur eine Lösung bei x = 2.
... daran erinnere ich mich nur ganz dunkel. Danke für Deine Erklärung. Aus den Tiefen meines Gedächtnisses steigt etwas auf, das ich früher mal zeichnen konnte und heute wohl kaum mehr wiedererkennen würde.
Mathe war immer mein Lieblingsgegenstand, doch es ist einfach zu schwierig. Die Dinge, für die ich mich interessieren würde, sind vom Schwierigkeitsgrad jenseits von Gut und Böse. Etwa die Gravitationskraft der Zeit zu berechnen.
Ich habe mir Bücher über Mathe-Sonderthemen gekauft, die ich hinten und vorne nicht verstand. Als ich das einem promovierten Mathematiker zeigte und fragte, meinte er, - der Autor hätte es auch nicht verstanden.
> Doch, doch, ich habe ein Verständnisproblem, meine Schulzeit ist lange her.
Da fehlt vielleicht der grundlegende Satz:
Ein Produkt ist dann Null, wenn mindestens einer der Faktoren Null ist.
Aus x•(x-2)=0 kannst Du also die zwei Lösungen ableitem:
- linker Faktor ist Null
- rechter Faktor ist Null
Nicht das ist es, was ich nicht verstand, das ist logisch. Es geht darum, dass ich die Lösung nicht "ableiten", sondern "rechnen" möchte. Jeder kann das "ausprobieren" und sieht, dass es Null ist. Es geht jedoch um den mathematischen Beweis amstatt. Und ich behaupte mal, da wird die Luft dann dünnn.
Dazu muss man zuerst herausfinden, was an meiner Gleichungslösung denn falsch wäre. Die Chemikerin meinte, das Dividieren durch x als Auflösung von x-Quadrat. Muss wohl so sein.
Die Chemikerin meinte, das Dividieren durch x als Auflösung von x-Quadrat.
Das hatte ich so nicht geschrieben. Sondern meinte genau das, was TomRichter hier erklärt. Da wird keine Funktion "abgeleitet"; den mathematischen Beweis haben TomRichter und ich dir geliefert.
Da steckt nicht mehr hinter als das, was du hier von uns geschrieben siehst. Dividieren durch X ist eben durch die Zerlegung in Faktoren gerade NICHT erlaubt.
Ich vermute tatsächlich, dass du es dir komplizierter machst, als es ist. :-)
Es geht jedoch um den mathematischen Beweis amstatt
Du willst Dir das Leben unnötig schwer machen? Kannst Du auch haben.
x•(x-2)=0
Wir dividieren durch (x-2), aber da man durch 0 nicht dividieren darf, müssen wir eine Fallunterscheidung machen:
- Fall (x-2) != 0:
x•(x-2)=0 | :(x-2)
x = 0/(x-2) = 0; somit x = 0 kurz vergewissert: (0-2) != 0, also passt es zu Fall 1
2, Fall (x-2) = 0, somit x != 0 und wir dürfen durch x dividieren:
x•(x-2)=0 | :x
x -2 = 0/x = 0; somit x = 2 kurz vergewissert, 2 != 0, also passt es zu Fall 2
0x und 2x sind korrekt.
Ist aber schon witzig, dass sich so wenige für die Null entscheiden. Da ist offensichtlich viel Unsicherheit vorhanden.